三、解答题
21.(本题满分16分)
已知是不全为零的实数,函数
,
.
方程有实数根,且
的实数根都是
的根;反之,
的实数根都是
的根.
(1)求的值;(3分)
(2)若,求
的取值范围;(6分)
(3)若,
,求
的取值范围.(7分)
本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识,考查综合运用分类讨论、
等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力.满分16分.
解:(1)设为方程的一个根,即
,则由题设得
.于是,
,即
.
所以,.
(2)由题意及(1)知,
.
由得
是不全为零的实数,且
,
则.
方程就是
.①
方程就是
.②
(ⅰ)当时,
,方程①、②的根都为
,符合题意.
(ⅱ)当,
时,方程①、②的根都为
,符合题意.
(ⅲ)当,
时,方程①的根为
,
,它们也都是方程②的根,
但它们不是方程的实数根.
由题意,方程无实数根,此方程根的判别式
,
得.
综上所述,所求的取值范围为
.
(3)由,
得
,
,
.③
由可以推得
,知方程
的根一定是方程
的根.
当时,符合题意.
当时,
,方程
的根不是方程
④
的根,因此,根据题意,方程④应无实数根.
那么当,即
时,
,符合题意.
当,即
或
时,由方程④得
,
即,⑤
则方程⑤应无实数根,所以有且
.
当时,只需
,解得
,矛盾,舍去.
当时,只需
,解得
.
因此,.
综上所述,所求的取值范围为
.
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