三、解答题
(21)(本小题满分12分)
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,椭圆
上的点到焦点距离的
最大值为,最小值为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
相交于
,
两点(
不是左右顶点),
且以为直径的圆过椭圆
的右顶点,求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
解:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为,
由已知得:,
,
,
,
.
椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)设,
,
联立
得,
又,
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点
,
,即
,
,
,
.
解得:
,
,且均满足
,
当时,
的方程为
,直线过定点
,与已知矛盾;
当时,
的方程为
,直线过定点
.
所以,直线过定点,定点坐标为
.
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