解答题

21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分

  如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上

的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.

(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)     证明：P-ABC为正四面体；

(2)     若PD=PA, 求二面角D-BC-A的

大小；(结果用反三角函数值表示)

(3)     设棱台DEF-ABC的体积为V, 是

否存在体积为V且各棱长均相等的直

平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC

有相同的棱长和? 若存在,请具体构造

出这样的一个直平行六面体,并给出证

明；若不存在,请说明理由.

【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,

   ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.

   又∵截面DEF∥底面ABC,

   ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体.

 【解】(2)取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.

   ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,

   则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.

   由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,

   ∴PM=AM=,由D是PA的中点,得

  sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.

(3)存在满足条件的直平行六面体.

  棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.

  设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为α,

  则该六面体棱长和为6, 体积为sinα=V.

  ∵正四面体P-ABC的体积是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)

故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.