三、解答题
19.(本小题共13分)
如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为
,短半轴长为
,计划将此钢板切割成
等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底
的端点在椭圆上,
记,梯形面积为
.
(I)求面积以
为自变量的函数式,并写出其定义域;
(II)求面积的最大值.
解:(I)依题意,以的中点
为原点建立直角坐标系
(如图),
则点的横坐标为
.
点
的纵坐标
满足方程
,
解得
,
其定义域为.
(II)记,
则.
令,得
.
因为当时,
;当
时,
,所以
是
的最大值.
因此,当时,
也取得最大值,最大值为
.
即梯形面积的最大值为
.
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