2022年全国甲文

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2022年高考数学甲卷-文1（5分）设集合$A=\{-2$，$-1$，0，1，$2\}$，$B=\{x\vert 0\leqslant x < \dfrac{5}{2}\}$，则$A\bigcap B=($　　)
A．$\{0$，1，$2\}$ B．$\{-2$，$-1$，$0\}$ C．$\{0$，$1\}$ D．$\{1$，$2\}$【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文2（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：

则(　　)
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于$70%$
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于$85%$
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文3（5分）若$z=1+i$，则$\vert iz+3\overline{z}\vert =$(　　)
A．$4\sqrt{5}$ B．$4\sqrt{2}$ C．$2\sqrt{5}$ D．$2\sqrt{2}$【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文4（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(　　)

A．8 B．12 C．16 D．20【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文5（5分）将函数$f(x)=\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{3})(\omega > 0)$的图像向左平移$\dfrac{\pi }{2}$个单位长度后得到曲线$C$，若$C$关于$y$轴对称，则$\omega$的最小值是(　　)
A．$\dfrac{1}{6}$ B．$\dfrac{1}{4}$ C．$\dfrac{1}{3}$ D．$\dfrac{1}{2}$【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文6（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A．$\dfrac{1}{5}$ B．$\dfrac{1}{3}$ C．$\dfrac{2}{5}$ D．$\dfrac{2}{3}$【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文7（5分）函数$f(x)=(3^{x}-3^{-x})\cos x$在区间$[-\dfrac{\pi }{2}$，$\dfrac{\pi }{2}]$的图像大致为(　　)
A．

B．

C．

D．

【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文8（5分）当$x=1$时，函数$f(x)=a\ln x+\dfrac{b}{x}$取得最大值$-2$，则$f\prime$（2）$=($　　)
A．$-1$ B．$-\dfrac{1}{2}$ C．$\dfrac{1}{2}$ D．1【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文9（5分）在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，已知$B_{1}D$与平面$ABCD$和平面$AA_{1}B_{1}B$所成的角均为$30^\circ$，则(　　)
A．$AB=2AD$
B．$AB$与平面$AB_{1}C_{1}D$所成的角为$30^\circ$
C．$AC=CB_{1}$
D．$B_{1}D$与平面$BB_{1}C_{1}C$所成的角为$45^\circ$【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文10（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为$2\pi$，侧面积分别为${{S}_{甲}}$和${{S}_{乙}}$，体积分别为${{V}_{甲}}$和${{V}_{乙}}$．若$\dfrac{{{S}_{甲}}}{{{S}_{乙}}}=2$，则$\dfrac{{{V}_{甲}}}{{{V}_{乙}}}=($　　)
A．$\sqrt{5}$ B．$2\sqrt{2}$ C．$\sqrt{10}$ D．$\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文11（5分）已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的离心率为$\dfrac{1}{3}$，$A_{1}$，$A_{2}$分别为$C$的左、右顶点，$B$为$C$的上顶点．若$\overrightarrow{B{A_1}}\cdot \overrightarrow{B{A_2}}=-1$，则$C$的方程为(　　)
A．$\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{16}=1$ B．$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{8}=1$
C．$\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ D．$\dfrac{x^2}{2}+y^{2}=1$【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文12（5分）已知$9^{m}=10$，$a=10^{m}-11$，$b=8^{m}-9$，则(　　)
A．$a > 0 > b$ B．$a > b > 0$ C．$b > a > 0$ D．$b > 0 > a$【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文13（5分）已知向量$\overrightarrow{a}=(m,3)$，$\overrightarrow{b}=(1,m+1)$．若$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$，则$m=$____．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文14（5分）设点$M$在直线$2x+y-1=0$上，点$(3,0)$和$(0,1)$均在$\odot M$上，则$\odot M$的方程为____．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文15（5分）记双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的离心率为$e$，写出满足条件“直线$y=2x$与$C$无公共点”的$e$的一个值____．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文16（5分）已知$\Delta ABC$中，点$D$在边$BC$上，$\angle ADB=120^\circ$，$AD=2$，$CD=2BD$．当$\dfrac{AC}{AB}$取得最小值时，$BD=$____．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文17（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由$A$和$B$两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

	准点班次数	未准点班次数
$A$	240	20
$B$	210	30

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有$90%$的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$．

$P(K^{2}\geqslant k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635

【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文18（12分）记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和．已知$\dfrac{2{S_n}}{n}+n=2a_{n}+1$．
（1）证明：$\{a_{n}\}$是等差数列；
（2）若$a_{4}$，$a_{7}$，$a_{9}$成等比数列，求$S_{n}$的最小值．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文19（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面$ABCD$是边长为8（单位：$cm)$的正方形，$\Delta EAB$，$\Delta FBC$，$\Delta GCD$，$\Delta HDA$均为正三角形，且它们所在的平面都与平面$ABCD$垂直．
（1）证明：$EF//$平面$ABCD$；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文20（12分）已知函数$f(x)=x^{3}-x$，$g(x)=x^{2}+a$，曲线$y=f(x)$在点$(x_{1}$，$f(x_{1}))$处的切线也是曲线$y=g(x)$的切线．
（1）若$x_{1}=-1$，求$a$；
（2）求$a$的取值范围．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文21（12分）设抛物线$C:y^{2}=2px(p > 0)$的焦点为$F$，点$D(p,0)$，过$F$的直线交$C$于$M$，$N$两点．当直线$MD$垂直于$x$轴时，$\vert MF\vert =3$．
（1）求$C$的方程；
（2）设直线$MD$，$ND$与$C$的另一个交点分别为$A$，$B$，记直线$MN$，$AB$的倾斜角分别为$\alpha$，$\beta$．当$\alpha -\beta$取得最大值时，求直线$AB$的方程．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文22[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
（10分）在直角坐标系$xOy$中，曲线$C_{1}$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{2+t}{6},\\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.(t$为参数），曲线$C_{2}$的参数方程为$\left\{{\left.\begin{array}{l}{x=-\dfrac{2+s}{6},}\\ {y=-\sqrt{s}}\end{array}\right.}\right.(s$为参数）．
（1）写出$C_{1}$的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C_{3}$的极坐标方程为$2\cos \theta -\sin \theta =0$，求$C_{3}$与$C_{1}$交点的直角坐标，及$C_{3}$与$C_{2}$交点的直角坐标．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-文23[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知$a$，$b$，$c$均为正数，且$a^{2}+b^{2}+4c^{2}=3$，证明：
（1）$a+b+2c\leqslant 3$；
（2）若$b=2c$，则$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\geqslant 3$．【答案详解】

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