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2022年高考数学甲卷-文17<-->2022年高考数学甲卷-文19
（12分）记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和．已知$\dfrac{2{S_n}}{n}+n=2a_{n}+1$．
（1）证明：$\{a_{n}\}$是等差数列；
（2）若$a_{4}$，$a_{7}$，$a_{9}$成等比数列，求$S_{n}$的最小值．
分析：（1）由已知把$n$换为$n+1$作差可得递推关系从而证明，
（2）由$a_{4}$，$a_{7}$，$a_{9}$成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出$a_{n}$正负分界点计算即可．
解：（1）证明：由已知有：$2{S}_{n}+{n}^{2}=2n{a}_{n}+n\dotsb$①，
把$n$换成$n+1$，$2{S}_{n+1}+(n+1)^{2}=2(n+1){a}_{n+1}+n+1\dotsb$②，
②$-$①可得：$2a_{n+1}=2(n+1)a_{n+1}-2na_{n}-2n$，
整理得：$a_{n+1}=a_{n}+1$，
由等差数列定义有$\{a_{n}\}$为等差数列；
（2）由已知有${{a}_{7}}^{2}={a}_{4}\cdot {a}_{9}$，设等差数列$a_{n}$的首项为$x$，由（1）有其公差为1，
故$(x+6)^{2}=(x+3)(x+8)$，解得$x=-12$，故$a_{1}=-12$，
所以$a_{n}=-12+(n-1)\times 1=n-13$，
故可得：$a_{1} < a_{2} < a_{3} < \dotsb < a_{12} < 0$，$a_{13}=0$，$a_{14} > 0$，
故$S_{n}$在$n=12$或者$n=13$时取最小值，${S}_{12}={S}_{13}=\dfrac{(-12+0)\times 13}{2}=-78$，
故$S_{n}$的最小值为$-78$．
点评：本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前$n$项和的最小值，属于中档题．
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