2022年高考数学甲卷-文19

（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面

$ABCD$ 是边长为8（单位：

$cm)$ 的正方形，

$\Delta EAB$ ，

$\Delta FBC$ ，

$\Delta GCD$ ，

$\Delta HDA$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面

$ABCD$ 垂直．
（1）证明：

$EF//$ 平面

$ABCD$ ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

分析：（1）将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；
（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．
（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，

做

$EE'\bot AB$ 于点

$E'$ ，做

$FF'\bot BC$ 于点

$F'$ ，
由于底面为正方形，

$\Delta ABE$ ，

$\Delta BCF$ 均为等边三角形，
故等边三角形的高相等，即

$EE'=FF'$ ，
由面面垂直的性质可知

$EE'$ ，

$FF'$ 均与底面垂直，
则

$EE'//FF'$ ，四边形

$EE'F'F$ 为平行四边形，则

$EF//E'F'$ ，
由于

$EF$ 不在平面

$ABCD$ 内，

$E'F'$ 在平面

$ABCD$ 内，
由线面平行的判断定理可得

$EF//$ 平面

$ABCD$ ．

（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，
其中长方体的高

$AA_{1}=EE'=4\sqrt{3}$ ，
长方体的体积

$V_{1}=8\times 8\times 4\sqrt{3}=256\sqrt{3}cm^{3}$ ，
一个三棱锥的体积

$V_{2}=\dfrac{1}{3}\times (\dfrac{1}{2}\times 4\times 4)\times 4\sqrt{3}=\dfrac{32\sqrt{3}}{3}cm^{3}$ ，
则包装盒的容积为

$V=V_{1}-4V_{2}=256\sqrt{3}-4\times \dfrac{32\sqrt{3}}{3}=\dfrac{640}{3}\sqrt{3}cm^{3}$ ．
点评：本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．

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