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2022年高考数学甲卷-文21<-->2022年高考数学甲卷-文23
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
（10分）在直角坐标系$xOy$中，曲线$C_{1}$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{2+t}{6},\\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.(t$为参数），曲线$C_{2}$的参数方程为$\left\{{\left.\begin{array}{l}{x=-\dfrac{2+s}{6},}\\ {y=-\sqrt{s}}\end{array}\right.}\right.(s$为参数）．
（1）写出$C_{1}$的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C_{3}$的极坐标方程为$2\cos \theta -\sin \theta =0$，求$C_{3}$与$C_{1}$交点的直角坐标，及$C_{3}$与$C_{2}$交点的直角坐标．
分析：（1）消去参数$t$，可得$C_{1}$的普通方程；
（2）消去参数$s$，可得$C_{2}$的普通方程，化$C_{3}$的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解$C_{3}$与$C_{1}$、$C_{3}$与$C_{2}$交点的直角坐标．
解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{2+t}{6},\\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.(t$为参数），消去参数$t$，
可得$C_{1}$的普通方程为$y^{2}=6x-2(y\geqslant 0)$；
（2）由$\left\{{\left.\begin{array}{l}{x=-\dfrac{2+s}{6},}\\ {y=-\sqrt{s}}\end{array}\right.}\right.(s$为参数），消去参数$s$，
可得$C_{2}$的普通方程为$y^{2}=-6x-2(y\leqslant 0)$．
由$2\cos \theta -\sin \theta =0$，得$2\rho \cos \theta -\rho \sin \theta =0$，
则曲线$C_{3}$的直角坐标方程为$2x-y=0$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\ {{y}^{2}=6x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{1}{2}}\\ {y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\ {y=2}\end{array}\right.$，
$\therefore C_{3}$与$C_{1}$交点的直角坐标为$(\dfrac{1}{2}$，$1)$与$(1,2)$；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\ {{y}^{2}=-6x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\dfrac{1}{2}}\\ {y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\ {y=-2}\end{array}\right.$，
$\therefore C_{3}$与$C_{2}$交点的直角坐标为$(-\dfrac{1}{2}$，$-1)$与$(-1,-2)$．
点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．
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