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2022年高考数学甲卷-文22

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[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
（10分）在直角坐标系

$xOy$ 中，曲线

$C_{1}$ 的参数方程为

$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{2+t}{6},\\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.(t$ 为参数），曲线

$C_{2}$ 的参数方程为

$\left\{{\left.\begin{array}{l}{x=-\dfrac{2+s}{6},}\\ {y=-\sqrt{s}}\end{array}\right.}\right.(s$ 为参数）．
（1）写出

$C_{1}$ 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

$C_{3}$ 的极坐标方程为

$2\cos \theta -\sin \theta =0$ ，求

$C_{3}$ 与

$C_{1}$ 交点的直角坐标，及

$C_{3}$ 与

$C_{2}$ 交点的直角坐标．
分析：（1）消去参数

$t$ ，可得

$C_{1}$ 的普通方程；
（2）消去参数

$s$ ，可得

$C_{2}$ 的普通方程，化

$C_{3}$ 的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解

$C_{3}$ 与

$C_{1}$ 、

$C_{3}$ 与

$C_{2}$ 交点的直角坐标．
解：（1）由

$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{2+t}{6},\\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.(t$ 为参数），消去参数

$t$ ，
可得

$C_{1}$ 的普通方程为

$y^{2}=6x-2(y\geqslant 0)$ ；
（2）由

$\left\{{\left.\begin{array}{l}{x=-\dfrac{2+s}{6},}\\ {y=-\sqrt{s}}\end{array}\right.}\right.(s$ 为参数），消去参数

$s$ ，
可得

$C_{2}$ 的普通方程为

$y^{2}=-6x-2(y\leqslant 0)$ ．
由

$2\cos \theta -\sin \theta =0$ ，得

$2\rho \cos \theta -\rho \sin \theta =0$ ，
则曲线

$C_{3}$ 的直角坐标方程为

$2x-y=0$ ．
联立

$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\ {{y}^{2}=6x-2}\end{array}\right.$ ，解得

$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{1}{2}}\\ {y=1}\end{array}\right.$ 或

$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\ {y=2}\end{array}\right.$ ，

$\therefore C_{3}$ 与

$C_{1}$ 交点的直角坐标为

$(\dfrac{1}{2}$ ，

$1)$ 与

$(1,2)$ ；
联立

$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\ {{y}^{2}=-6x-2}\end{array}\right.$ ，解得

$\left\{\begin{array}{l}{x=-\dfrac{1}{2}}\\ {y=-1}\end{array}\right.$ 或

$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\ {y=-2}\end{array}\right.$ ，

$\therefore C_{3}$ 与

$C_{2}$ 交点的直角坐标为

$(-\dfrac{1}{2}$ ，

$-1)$ 与

$(-1,-2)$ ．
点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．

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