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2022年高考数学甲卷-文23

[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知abc均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:
(1)a+b+2c3
(2)若b=2c,则1a+1c3
分析:(1)由已知结合柯西不等式证明;
(2)法一、由已知结合(1)中的结论,再由权方和不等式证明.
法二、由(1)知,a+4c3,当且仅当a=2c=1等号成立,再由1a+1c=13(1a+1c)3,结合基本不等式证明.
证明:(1)abc均为正数,且a2+b2+4c2=3
由柯西不等式知,(a2+b2+4c2)(12+12+12)(a+b+2c)2
3×3(a+b+2c)2a+b+2c3
当且仅当a=b=2c,即a=b=1c=12时取等号;
(2)法一、由(1)知,a+b+2c3b=2c
0<a+4c3,则1a+4c13
由权方和不等式可知,1a+1c=12a+224c9a+4c3,当且仅当1a=24c,即a=1c=12时取等号,
1a+1c3
法二、由(1)知,a+4c3,当且仅当a=2c=1等号成立,
1a+1c=13(1a+1c)313(1a+1c)(a+4c)
=13(4ca+ac+5)13(24caac+5)=3,当且仅当a=2c=1等号成立,
1a+1c3
点评:本题考查不等式的证明,考查柯西不等式与权方和不等式的应用,是中档题.
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