面向未来,活在当下!
收藏夹
我的
站内搜索:
高级搜索
首页
>
数学
>
高考题
>
2022
>
2022年全国甲文
2022年高考数学甲卷-文23
2022年高考数学甲卷-文22
<-->
返回列表
[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知
a
,
b
,
c
均为正数,且
a
2
+
b
2
+
4
c
2
=
3
,证明:
(1)
a
+
b
+
2
c
⩽
3
;
(2)若
b
=
2
c
,则
1
a
+
1
c
⩾
3
.
分析:(1)由已知结合柯西不等式证明;
(2)法一、由已知结合(1)中的结论,再由权方和不等式证明.
法二、由(1)知,
a
+
4
c
⩽
3
,当且仅当
a
=
2
c
=
1
等号成立,再由
1
a
+
1
c
=
1
3
⋅
(
1
a
+
1
c
)
⋅
3
,结合基本不等式证明.
证明:(1)
∵
a
,
b
,
c
均为正数,且
a
2
+
b
2
+
4
c
2
=
3
,
∴
由柯西不等式知,
(
a
2
+
b
2
+
4
c
2
)
(
1
2
+
1
2
+
1
2
)
⩾
(
a
+
b
+
2
c
)
2
,
即
3
×
3
⩾
(
a
+
b
+
2
c
)
2
,
∴
a
+
b
+
2
c
⩽
3
;
当且仅当
a
=
b
=
2
c
,即
a
=
b
=
1
,
c
=
1
2
时取等号;
(2)法一、由(1)知,
a
+
b
+
2
c
⩽
3
且
b
=
2
c
,
故
0
<
a
+
4
c
⩽
3
,则
1
a
+
4
c
⩾
1
3
,
由权方和不等式可知,
1
a
+
1
c
=
1
2
a
+
2
2
4
c
⩾
9
a
+
4
c
⩾
3
,当且仅当
1
a
=
2
4
c
,即
a
=
1
,
c
=
1
2
时取等号,
故
1
a
+
1
c
⩾
3
.
法二、由(1)知,
a
+
4
c
⩽
3
,当且仅当
a
=
2
c
=
1
等号成立,
∴
1
a
+
1
c
=
1
3
⋅
(
1
a
+
1
c
)
⋅
3
⩾
1
3
⋅
(
1
a
+
1
c
)
⋅
(
a
+
4
c
)
=
1
3
(
4
c
a
+
a
c
+
5
)
⩾
1
3
(
2
√
4
c
a
⋅
a
c
+
5
)
=
3
,当且仅当
a
=
2
c
=
1
等号成立,
故
1
a
+
1
c
⩾
3
.
点评:本题考查不等式的证明,考查柯西不等式与权方和不等式的应用,是中档题.
2022年高考数学甲卷-文22
<-->
返回列表
全网搜索"2022年高考数学甲卷-文23"相关
5
来顶一下
返回首页
收藏知识
打印
相关知识
无相关信息
发表笔记
共有
0
条笔记
验证码:
学习笔记(共有
0
条)
开心教练从2004年开始自费开设这个网站. 为了可以持续免费提供这些内容, 并且没有广告干扰,请大家随意打赏,谢谢!,
(微信中可直接长按微信打赏二维码。)
微信
支付宝
开心教练QQ:29443574
1.0
© 2004-2023
91学
(
闽ICP备11019754号-1
)