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2022年高考数学甲卷-文8

(5分)当$x=1$时,函数$f(x)=a\ln x+\dfrac{b}{x}$取得最大值$-2$,则$f\prime$(2)$=($  )
A.$-1$              B.$-\dfrac{1}{2}$              C.$\dfrac{1}{2}$              D.1
分析:由已知求得$b$,再由题意可得$f\prime$(1)$=0$求得$a$,得到函数解析式,求其导函数,即可求得$f\prime$(2).
解:由题意$f$(1)$=b=-2$,则$f(x)=a\ln x-\dfrac{2}{x}$,
则$f\prime (x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{2}{{x}^{2}}=\dfrac{ax+2}{{x}^{2}}$,
$\because$当$x=1$时函数取得最值,可得$x=1$也是函数的一个极值点,
$\therefore f\prime$(1)$=a+2=0$,即$a=-2$.
$\therefore f\prime (x)=\dfrac{-2x+2}{{x}^{2}}$,
易得函数在$(0,1)$上单调递增,在$(1,+\infty )$上单调递减,
故$x=1$处,函数取得极大值,也是最大值,
则$f\prime$(2)$=\dfrac{-2\times 2+2}{{2}^{2}}=-\dfrac{1}{2}$.
故选:$B$.
点评:本题考查导数的应用,考查导数最值与极值的关系,考查运算求解能力,是中档题.
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