2022年高考数学甲卷-文15

（5分）记双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$ 的离心率为

$e$ ，写出满足条件“直线

$y=2x$ 与

$C$ 无公共点”的

$e$ 的一个值　

$2(e\in (1$ ，

$\sqrt{5}]$ 内的任意一个值都满足题意）　．
分析：求出双曲线渐近线方程，利用直线

$y=2x$ 与

$C$ 无公共点，推出

$a$ ，

$b$ 的不等式，即可得到离心率的范围．
解：双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$ 的离心率为

$e$ ，

$e=\dfrac{c}{a}$ ，
双曲线的渐近线方程为

$y=\pm \dfrac{b}{a}x$ ，
直线

$y=2x$ 与

$C$ 无公共点，可得

$\dfrac{\;b}{a}\leqslant 2$ ，即

$\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\leqslant 4$ ，即

$\dfrac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}\leqslant 4$ ，
可得

$1 < e\leqslant \sqrt{5}$ ，
满足条件“直线

$y=2x$ 与

$C$ 无公共点”的

$e$ 的一个值可以为：2．
故答案为：

$2(e\in (1$ ，

$\sqrt{5}]$ 内的任意一个值都满足题意）．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．

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