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2022年高考数学甲卷-文16

(5分)已知ΔABC中,点D在边BC上,ADB=120AD=2CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD= 31 .
分析:首先设出BDCD,在两个三角形中分别表示ACBC,继而AC2AB2=b2c2=4x24x+4x2+2x+4=412x+1+3x+1,从而利用均值不等式取等号的条件即可.
解:设BD=xCD=2x
在三角形ACD中,b2=4x2+422x2cos60,可得:b2=4x24x+4
在三角形ABD中,c2=x2+42x2cos120,可得:c2=x2+2x+4
要使得ACAB最小,即b2c2最小,
b2c2=4x24x+4x2+2x+4=4(x2+2x+4)12x12x2+2x+4=412x+1x2+2x+4=412x+1(x+1)2+3=412x+1+3x+1
其中x+1+3x+123,此时b2c2423
当且仅当(x+1)2=3时,即x=31x=31(舍去),即x=31时取等号,
故答案为:31
点评:本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用,属于中档题.
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