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2022年高考数学甲卷-文16

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（5分）已知

$\Delta ABC$ 中，点

$D$ 在边

$BC$ 上，

$\angle ADB=120^\circ$ ，

$AD=2$ ，

$CD=2BD$ ．当

$\dfrac{AC}{AB}$ 取得最小值时，

$BD=$ 　

$\sqrt{3}-1$ 　．
分析：首先设出

$BD$ ，

$CD$ ，在两个三角形中分别表示

$AC$ ，

$BC$ ，继而

$\dfrac{A{C}^{2}}{A{B}^{2}}=\dfrac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\dfrac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=4-\dfrac{12}{x+1+\dfrac{3}{x+1}}$ ，从而利用均值不等式取等号的条件即可．
解：设

$BD=x$ ，

$CD=2x$ ，
在三角形

$ACD$ 中，

$b^{2}=4x^{2}+4-2\cdot 2x\cdot 2\cdot \cos 60^\circ$ ，可得：

$b^{2}=4x^{2}-4x+4$ ，
在三角形

$ABD$ 中，

$c^{2}=x^{2}+4-2\cdot x\cdot 2\cdot \cos 120^\circ$ ，可得：

$c^{2}=x^{2}+2x+4$ ，
要使得

$\dfrac{AC}{AB}$ 最小，即

$\dfrac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$ 最小，

$\dfrac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\dfrac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=\dfrac{4({x}^{2}+2x+4)-12x-12}{{x}^{2}+2x+4}=4-12\cdot \dfrac{x+1}{{x}^{2}+2x+4}=4-12\cdot \dfrac{x+1}{(x+1)^{2}+3}=4-\dfrac{12}{x+1+\dfrac{3}{x+1}}$ ，
其中

$x+1+\dfrac{3}{x+1}\geqslant 2\sqrt{3}$ ，此时

$\dfrac{{b}^{2}}{{c}^{2}}\geqslant 4-2\sqrt{3}$ ，
当且仅当

$(x+1)^{2}=3$ 时，即

$x=\sqrt{3}-1$ 或

$x=-\sqrt{3}-1$ （舍去），即

$x=\sqrt{3}-1$ 时取等号，
故答案为：

$\sqrt{3}-1$ ．
点评：本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．

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