2022年高考数学甲卷-文15<-->2022年高考数学甲卷-文17
(5分)已知ΔABC中,点D在边BC上,∠ADB=120∘,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD= √3−1 . 分析:首先设出BD,CD,在两个三角形中分别表示AC,BC,继而AC2AB2=b2c2=4x2−4x+4x2+2x+4=4−12x+1+3x+1,从而利用均值不等式取等号的条件即可. 解:设BD=x,CD=2x, 在三角形ACD中,b2=4x2+4−2⋅2x⋅2⋅cos60∘,可得:b2=4x2−4x+4, 在三角形ABD中,c2=x2+4−2⋅x⋅2⋅cos120∘,可得:c2=x2+2x+4, 要使得ACAB最小,即b2c2最小, b2c2=4x2−4x+4x2+2x+4=4(x2+2x+4)−12x−12x2+2x+4=4−12⋅x+1x2+2x+4=4−12⋅x+1(x+1)2+3=4−12x+1+3x+1, 其中x+1+3x+1⩾2√3,此时b2c2⩾4−2√3, 当且仅当(x+1)2=3时,即x=√3−1或x=−√3−1(舍去),即x=√3−1时取等号, 故答案为:√3−1. 点评:本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用,属于中档题.
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