解答题

全国卷Ⅰ(理)

2004年

19．（本小题满分12分）

已知求函数的单调区间.

解答

2005年

（19）（本大题满分12分）

设等比数列的公比为，前n项和

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小

解答

2006年

（19）（本小题满分12分）

如图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l₁上，C在

l₂上，AM=MB=MN。

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

解答

2007年

（19）（本小题满分12分）

四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，

，，．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

解答

全国卷Ⅱ(理)

2004年

19．（本小题满分12分）

数列的前n项和记为S_n，已知证明：

（Ⅰ）数列是等比数列；

（Ⅱ）

 解答

2005年

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，

本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没

有影响．令为本场比赛的局数．求的概率分布和数学期望．（精确到0.0001）

解答

2006年

（19）（本小题满分１２分）

  如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。

       （I）证明：ED为异面直线与的公垂线；

       （II）设求二面角的大小。

         解答

2007年

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，

侧棱底面分别为的中点．

（1）证明平面；

（2）设，求二面角的大小．

解答

全国卷Ⅲ(理)

2004年

19．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。

在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽

的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

解答

2005年

19.（本小题满分12分）

中，内角..的对边分别为..，已知..成等比数列，且

（1）求的值；

（2）若，求的值 

解答

全国卷Ⅳ(理)

2004年

19．（本小题满分12分）

    某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：

每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答

正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；

（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率.

解答

2007年

北京卷(理)

2004年

（17）（本小题满分14分）

        如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线

     分别交抛物线于A（），B（）

     （I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离

     （II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB

      的斜率是非零常数

                   解答

2005年

17 (本小题共13分)

甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为

(Ⅰ)记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望;

(Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率;

(Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率

解答

2006年

（17）（本小题共14分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，

且PA=AB，点E是PD的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；

（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC；

（Ⅲ）求二面角E-AC-B的大小.

解答

2007年

17．（本小题共14分）

矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，

点在边所在直线上．

（I）求边所在直线的方程；

（II）求矩形外接圆的方程；

（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

解答

天津卷(理)

2004年

19. （本小题满分12分）

  如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，

PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

  （1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

     解答

2005年

（19）（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱中，，

侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点

（Ⅰ）求与底面ABC所成的角

（Ⅱ）证明∥平面

（Ⅲ）求经过四点的球的体积

解答

2006年

(19)(本小题满分12分)

如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，

面CDE是等边三角形，棱EFBC．

  (Ⅰ)证明FO∥平面CDE；

(Ⅱ)设BC=CD，证明EO⊥平面CDF.

解答

2007年

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面，，

，是的中点．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

解答

上海卷(理)

2004年

19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分

  记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)

 的定义域为B.

(1) 求A；

(2) 若BA, 求实数a的取值范围.

 解答

2005年

19.点A、B分别是椭圆长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上，

且位于x轴上方，

（1）求P点的坐标；

    （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的

     距离等于，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值

解答

2006年

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD

相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

解答

2007年

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

    近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量

达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递

增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

   （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

   （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年

的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持

在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产

量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精

确到0.1%）？

解答

辽宁卷（理）

2004年

19．（本小题满分12分）

设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，

点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

   （1）动点P的轨迹方程；

   （2）的最小值与最大值.

解答

2005年

19．（本小题满分12分）

  已知函数设数列}满足，数列}满足

    （Ⅰ）用数学归纳法证明；

    （Ⅱ）证明

解答

2006年（理）

(19) (本小题满分12分)

现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、

1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每

次调整中,价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立

的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取

0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别

表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

(I)  求、的概率分布和数学期望、;

(II)  当时,求的取值范围.

解答

2007年

19．（本小题满分12分）

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为

  该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，

各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：

设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，

而市场前景无法确定的利润．

（I）分别求利润与产量的函数关系式；

（II）当产量确定时，求期望；

（III）试问产量取何值时，取得最大值．

解答

江苏卷

2004年

19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.

  某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大

盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计

划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投

资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

 解答

2005年

21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）

   如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，，

⑴求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；

⑵证明：BC⊥平面SAB；

⑶用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小（本小问不必写出解答过程）

解答

2006年

（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，

     第三小问满分5分）

　　　在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足

     AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，

     使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

   （Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角B－A₁P－F的大小（用反三角函数表示）

解答

2007年

19．（本题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，

与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和

直线交于点．

（1）若，求的值；（5分）

（2）若为线段的中点，

求证：为此抛物线的切线；（5分）

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）

解答

浙江卷(理)

2004年

（19）（本题满分12分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

   AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

  （Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

  （Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

    解答

2005年

17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，

左准线与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．

   (Ⅰ)求椭圆的方程；

   (Ⅱ)若直线：x＝m(|m|＞1)，P为上的动点，

   使最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．

解答

2006年

（17）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，BAD=，

PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

     （Ⅰ）求证：PB⊥DM；

     （Ⅱ） 求CD与平面ADMN所成的角。

 解答

2007年

（20）（本题14分）如图，直线与椭圆

交于两点，

记的面积为．

（I）求在，的条件下，的最大值；

（II）当，时，求直线的方程．

解答

福建卷(理)

2004年

（19）（本小题满分12分）

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。

  解答

2005年

19．（本小题满分12分）

已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.

 （Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；

 （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.

解答

2006年

（19）（本小题满分12分）

 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶

速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

解答

2007年

19．（本小题满分12分）

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司

交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，

一年的销售量为万件．

（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；

（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，

并求出的最大值．

解答

湖北卷(理)

2004年

（19）（本小题满分12分）

如图，在Rt△ABC中，已知BC=a,若长为2 a的线段P  Q以点A为中点，

问与的夹角θ取何值时，的值最大？并求出这个最大值。

 　　　　　　　　　　　　　　解答

2005年

19．（本小题满分12分）

某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加

考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则

就一直考到第4次为止 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的

概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列

和的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率

解答

2006年

18．（本小题满分12分）

   如图，在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m。

（Ⅰ）试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为；

（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影

垂直于AP，并证明你的结论。

解答

2007年

 18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且，

．

（I）求证：平面；

（II）当解变化时，求直线与平面所成的角的取值范围．

 解答                                            

湖南卷(理)

2004年

(19) (本小题满分12分)

如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,

     点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.

     (Ⅰ)证明 PA⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小:

(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.

                                  解答

2005年

18．（本小题满分14分）

某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别

是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开

该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；

（Ⅱ）记“函数f(x)＝x²－3ξx＋1在区间[2，＋∞上单调递增”为

事件A，求事件A的概率. 

解答

2006年

18．(本小题满分14分)

    如图4，己知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4．

    (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

    (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

    (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离．

解答     

2007年

18．（本小题满分12分）

如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，

分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，

，且．连结，如图3．

　　　　图2                             图3

（I）证明：平面平面；

（II）当，，时，求直线和平面所成的角．

解答

广东卷（理）

2004年

19. (12分)设函数

(1) 证明: 当0< a < b ,且时,ab >1;

(2) 点P (x₀, y₀ ) (0< x₀ <1 )在曲线上,求曲线在点P处的

切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x₀表达).

解答

2005年

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B

满足AO⊥BO（如图4所示）.

   （Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条

    中线的交点）的轨迹方程；

   （Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，

    请求出最小值；若不存在，请说明理由.

解答

2006年

17．（本小题满分14分）

    如图所示，AF、DE分别是⊙、⊙₁的直径。AD与两圆所在的平面均

垂直，AD=8，BC是⊙的直径，AB=AC=6，OE//AD。

    （Ⅰ）求二面角B-AD-F的大小；

    （Ⅱ）求直线BD与EF所成的角。

解答

2007年

18．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于

坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

（1）求圆的方程；

（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线

段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

 解答

重庆卷(理)

2004年

19．（本小题满分12分） 

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

(1)  证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；

(2)  若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。

解答

2005年

19．（本小题满分13分）

       已知，讨论函数的极值点的个数

解答

2006年

（19）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥中，底面，为直角，

，、分别为、CD的中点。

（Ⅰ）试证：平面；

（Ⅱ）设PA=K·AB，且二面角的平面角大于，求的取值范围。

                                 解答

2007年

19．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）

如题（19）图，在直三棱柱中，

，，；

点分别在，上，且，

四棱锥与直三棱柱的体积之比为．

（Ⅰ）求异面直线与的距离；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值．

解答

山东卷(理)

2005年

 (19) （本小题满分12分）

  已知是函数的一个极值点,其中.

（Ⅰ）求m与n的关系表达式;

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,

求m的取值范围

 解答

2006年

19.(本小题满分12分)

   如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB₁C

所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB＝90°．设AC＝2a，BC＝a．

   (Ⅰ)求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；

   (Ⅱ)求点A到平面VBC的距离；

   (Ⅲ)求二面角A-VB-C的大小．

解答

2007年

（19）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱中，已知，，．

（Ⅰ）设是的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

解答

江西卷(理)

2005年

19．（本小题满分12分）

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面

朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或

在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.

 （1）求的取值范围；

 （2）求的数学期望E. 

解答

2006年

19．(本小题满分12分)

     如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的

   点，线段MN经过△ABC的中心G.设∠MGA=α(≤α≤)．

   (1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S₁与S₂)表示为α的函数；

   (2)求y=的最大值与最小值．

解答

2007年

19．（本小题满分12分）

某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次

烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根

据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率

依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依

次为，，．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．

解答

陕西卷(理)

2006年

（１９）（本小题满分１２分）

如图，点A在直线上的射影为点B在上的射影为

已知求：

       （I）直线AB分别与平面所成角的大小；

       （II）二面角的大小。

(第19题图)

解答

2007年

19．（本小题满分12分）

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，平面．．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

解答

四川卷(理)

2006年

（19）（本大题满分12分）

如图，在长方体中，分别是的中点，

分别是的中点，

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

                            解答

2007年

（19）（本小题满分12分）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，

＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成

的角为60°.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面;

（Ⅱ）求二面角的大小;

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

解答

安徽卷(理)

2006年

（19）（本小题满分12分）

如图，P是边长为1的正六边形ABCDDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的

射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明PA┴BF：

（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。

解答

2007年

18．（本小题满分14分）

设，．

（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当时，恒有．

 解答

海南宁夏卷(理)

2007年

19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个

不同的交点和．

（I）求的取值范围；

（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，

使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

解答