三、解答题
(19)(本小题满分12分)
如图,在直四棱柱
中,已知
,
,
.
(Ⅰ)设是
的中点,求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
解法一:
(Ⅰ)连结
,则四边形
为正方形,
,且
,
四边形
为平行四边形.
.
又平面
,
平面
,
平面
.
(Ⅱ)以为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示
的空间直角坐标系,不妨设,则
,
,
,
,
,
,
,
设为平面
的一个法向量.
由,
,
得
取,则
.
又,
,
设为平面
的一个法向量,
由,
,
得
取,则
,
设与
的夹角为
,二面角
为
,显然
为锐角,
.
,
即所求二面角的余弦为
.
解法二:
(Ⅰ)以为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图
所示的空间直角坐标系,
设,由题意知:
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
又,
.
平面
,
平面
,
平面
.
(Ⅱ)取的中点
,
的中点
,连结
,
,
由(Ⅰ)及题意得知:
,
,
,
,
,
.
,
,
为所求二面角的平面角.
.
所以二面角的余弦值为
.
解法三:
(Ⅰ)证明:如解法一图,连结
,
,
设,
,连结
,
由题意知是
的中点,又
是
的中点,
四边形
是平行四边形,故
是
的中点,
在
中,
,
又平面
,
平面
,
平面
.
(Ⅱ)如图,在四边形中,设
,
,
,
,
.
故,由(Ⅰ)得
,
,
,即
.
又,
平面
,又
平面
,
,
取的中点
,连结
,
,
由题意知:,
.
又,
.
为二面角
的平面角.
连结,在
中,
由题意知:
,
,
取的中点
,连结
,
,
在中,
,
,
.
.
二面角
的余弦值为
.
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