三、解答题
18.(本小题满分14分)
设,
.
(Ⅰ)令,讨论
在
内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当时,恒有
.
本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和
证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力.本小题满分14分.
(Ⅰ)解:根据求导法则有,
故,
于是,
列表如下:
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2 |
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0 |
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极小值 |
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故知在
内是减函数,在
内是增函数,所以,在
处取得
极小值.
(Ⅱ)证明:由知,
的极小值
.
于是由上表知,对一切,恒有
.
从而当时,恒有
,故
在
内单调增加.
所以当时,
,即
.
故当时,恒有
.
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