解答题

(19) (本小题满分12分)

如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,

     点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.

     (Ⅰ)证明  PA⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小:

(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.

 解:

(Ⅰ)证明 因为底面ABCD是菱形, ∠ABC=60º,

  所以AB=AD=AC=a.

  在△PAB中,由

 知PA⊥AB.

 同理, PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.

(Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD

知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC.

∠EHG为二面角θ的平面角.

又PE:ED=2:1

所以

从而

(Ⅲ)解法一   以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点

垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图。由题设条件，

相关各点的坐标分别为A(0,0,0),B(

D(0,a,0),P(0,0,a), E(0,

所以

 设点F是棱PC上的点, 其中0<λ<1,则

   =

 令得

      即    

                   .

     解得

即  时,    共面.

又BF平面AEC,所以当F是棱PC的时,BF∥平面AEC.

解法二  当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下.

  证法一  取PE的中点M,连结FM,则FM∥CE. ①

  由知E是MD的中点.

  连接BM、BD,设BDAC=O，则O为BD的中点。

 所以BM∥OE。  ②

 由①、②知,平面BFM∥平面AEC.

 证法二

因为

       =

      =

  所以、、共面。

  又BF平面AEC,从而BF∥平面AEC。