三、解答题

19．（本题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，

与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和

直线交于点．

（1）若，求的值；（5分）

（2）若为线段的中点，

求证：为此抛物线的切线；（5分）

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）

本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、

导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．

满分14分．

解：（1）设直线的方程为，

将该方程代入得．

令，，则．

因为，解得，

或（舍去）．故．

（2）由题意知，直线的斜率为．

又的导数为，所以点处切线的斜率为，

因此，为该抛物线的切线．

（3）（2）的逆命题成立，证明如下：

设．

若为该抛物线的切线，则，

又直线的斜率为，所以，

得，因，有．

故点的横坐标为，即点是线段的中点．