三、解答题
19.(本题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,过
轴正方向上一点
任作一直线,
与抛物线相交于
两点.一条垂直于
轴的直线,分别与线段
和
直线交于点
.
(1)若,求
的值;(5分)
(2)若
为线段
的中点,
求证:为此抛物线的切线;(5分)
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.(4分)
本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、
导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算,考查分析问题、探索问题的能力.
满分14分.
解:(1)设直线
的方程为
,
将该方程代入得
.
令,
,则
.
因为,解得
,
或(舍去).故
.
(2)由题意知,直线
的斜率为
.
又的导数为
,所以点
处切线的斜率为
,
因此,为该抛物线的切线.
(3)(2)的逆命题成立,证明如下:
设.
若为该抛物线的切线,则
,
又直线的斜率为
,所以
,
得,因
,有
.
故点的横坐标为
,即
点是线段
的中点.
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