2026年高考数学北京-16（10分）设函数$f(x)=2\sin \omega x\cos \varphi +2\cos \omega x\sin \varphi (\omega > 0$，$\vert \varphi \vert < \dfrac{\pi }{2})$，已知$f(x)$的最小正周期为$\pi$，且$f(\dfrac{\pi }{4})=1$，$f(0) > 0$．
（Ⅰ）求$\omega$、$\varphi$的值；
（Ⅱ）求$f(x)$的单调递减区间．【答案详解】 |
2026年高考数学北京-17（15分）为了解某校高三年级学生的数学学习情况，随机抽查了200名高三年级学生某次考试的数学成绩，整理成下表：
| 成绩分组 | $[81$，$94)$ | $[94$，$107)$ | $[107$，$120)$ | $[120$，$135)$ | $[135$，$150]$ | | 人数 | 40 | 60 | 60 | 32 | 8 |
假设学生的数学成绩相互独立，用频率估计概率．
（Ⅰ）估计该校高三年级学生这次考试的数学成绩低于120的概率；
（Ⅱ）从该校高三年级学生中随机抽取4人，估计在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率；
（Ⅲ）为分析该校高三年级学生的数学学习情况，可采用三种方法，将样本中每名学生数学成绩所在区间的左端点值、中点值和右端点值视为该生的数学成绩．分别将这三种方法得到的三组数学成绩的方差记为$s_{}^{2}$、$s_{}^{2}$和$s_{}^{2}$，判断$s_{}^{2}$、$s_{}^{2}$和$s_{}^{2}$的大小关系（结论不要求证明）．【答案详解】 |
2026年高考数学北京-18（15分）如图，在直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$D$，$E$分别为$AC$，$A_{1}B_{1}$的中点，$AB=AC=2$，$\angle BAC=90^\circ$，$BB_{1}=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：$DE//$平面$BCC_{1}B_{1}$；
（Ⅱ）设点$P$在△$A_{1}B_{1}C_{1}$的内部，$PE//B_{1}C_{1}$，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使点$P$的位置唯一确定，求平面$PAD$与平面$PDE$夹角的余弦值．
条件①：$PA=PD$；
条件②：$PA\bot BC$；
条件③：$BB_{1}//$平面$PDE$．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
 【答案详解】 |
2026年高考数学北京-19（15分）已知椭圆$E:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的一个顶点为$(2,0)$，离心率为$\dfrac{1}{2}$．过点$A(1,1)$且斜率为$k(k\ne \pm 1)$的直线与椭圆$E$交于不同的两点$B$，$C$．点$B$关于直线$y=x$的对称点为$D$，直线$CD$与$y=x$于点$Q$．设△$ABQ$与△$ACQ$的面积分别为$S_{\triangle ABQ}$与$S_{\triangle ACQ}$．
（Ⅰ）求椭圆$E$的方程；
（Ⅱ）若$\vert S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ}\vert =\dfrac{5}{8}$，求$k$的值．【答案详解】 |
2026年高考数学北京-20（15分）设函数$f(x)=x^{2}+mx-4e^{nx-1}(n$是整数）．已知曲线$y=f(x)$在点$(-1$，$f(-1))$处的切线方程为$4x+e^{2}y+e^{2}+8=0$．
（Ⅰ）求$m$，$n$的值；
（Ⅱ）求$f(x)$的极值点个数；
（Ⅲ）求直线$l:y=kx-1(k > 0)$与曲线$y=f(x)$的交点个数．【答案详解】 |
