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2026年高考数学北京-13<-->2026年高考数学北京-15
（5分）如图，在三棱锥$A-BCD$中，$AB=AC=AD=2\sqrt{2}$，$BC=BD=2$，$CD=2\sqrt{3}$，则三棱锥的底面积为____，体积为____．
〖答案〗$\sqrt{3}$；$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$．
〖分析〗取$DC$中点作高的方法，利用勾股定理算出底边上的高，再代入三角形面积公式即可求得第一空；由题得点$A$在底面的投影$O$就是△$BCD$的外心．利用正弦定理算出△$BCD$的外接圆半径$R$，再通过勾股定理算出点$A$到底面$BCD$的距离$AO$，再由三棱锥的体积公式计算即可求得第二空．
〖解答〗解：在△$BCD$中，$BD=BC=2$，$DC=2\sqrt{3}$，取$DC$中点$E$，连接$BE$，
由等腰三角形三线合一得$BE\bot DC$，
所以$BE=\sqrt{BD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=1$，
$S_{\triangle BCD}=\dfrac{1}{2}\times DC\times BE=\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 1=\sqrt{3}$；
因为$AB=AC=AD=2\sqrt{2}$，
所以点$A$在底面$BCD$上的投影$O$是△$BCD$的外心，设△$ABC$外接圆半径为$R$，
由余弦定理得：$\cos \angle DBC=\dfrac{BD^{2}+BC^{2}-DC^{2}}{2\cdot BD\cdot BC}=-\dfrac{1}{2}$，即$\angle DBC=120^\circ$，
由正弦定理得：$2R=\dfrac{DC}{\sin \angle DBC}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sin 120^\circ }=4$，所以$R=2$，
因此点$A$到底面距离为$AO=\sqrt{AB^{2}-R^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-2^{2}}=2$，
所以$V_{A-BCD}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle BCD}\cdot AO=\dfrac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 2=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$；$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$．
〖点评〗本题考查三棱锥的体积求解，正、余弦定理的应用，考查了空间想象能力和运算能力，属于中档题．
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