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21．（15分）设$A$是如下形式的$m$行$n$列的数表：
$A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{vmatrix}$
其中位于第$i$行第$j$列的数记为$a_{ij}$，且$a_{ij}\in \{-1$，$1\}(i=1$，2，$\ldots$，$m$；$j=1$，2，$\ldots$，$n)$．
若对任意$k$，$l\in \{1$，2，$\ldots$，$m\}$和$p$，$q\in \{1$，2，$\ldots$，$n\}$，当$l > k$，$q > p$且$(l-k)-(q-p)\in \{-2$，$2\}$时，均有$a_{kp}+a_{kq}+a_{lp}+a_{lq}=0$，则称数表$A$具有性质$P$．
（Ⅰ）分别判断数表$A_{1}$和$A_{2}$是否具有性质$P$（只需写出结论）$:$
$A_{1}=\begin{vmatrix}1&1&-1&1\\ -1&1&-1&1\end{vmatrix}$
$A_{2}=\begin{vmatrix}1&-1&1&-1\\ 1&1&-1&-1\\ -1&1&-1&1\end{vmatrix}$
（Ⅱ）当$m=4$，$n=5$时，若数表$A$具有性质$P$，求$A$中1的个数的最大值；
（Ⅲ）当$m=n=6$时，若数表$A$具有性质$P$，且$a_{11}=1$，证明：$a_{ij}=a_{i1}a_{1j}(i=1$，2，$\ldots$，6；$j=1$，2，$\ldots$，$6)$．
〖答案〗（Ⅰ）$A_{1}$不具有性质$P$，$A_{2}$具有性质$P$；
（Ⅱ）12个；
（Ⅲ）当$i=1$或$j=1$时，
$\because a_{11}=1$，$a_{ij}=\{-1$，$1\}$，
$\therefore a_{1j}=a_{11}a_{1j}$或$a_{i1}=a_{11}a_{i1}$，${a}_{ij}^{2}=1$，
$\therefore$第一行和第一列均符合等式；
当符合$P$性质时，$a_{kl}a_{pq}=a_{pl}a_{kq}$，
已知其中三个数符合等式时，$a_{k1}a_{1l}a_{p1}a_{1q}=a_{p1}a_{1l}a_{kq}$，
$\therefore a_{kq}=a_{k1}a_{1q}$，即第四个数也符合等式，
$\because m=n=6$，
$\therefore \vert k-p\vert =\{1$，2，3，4，$5\}$，$\vert l-q\vert =\{1$，2，3，4，$5\}$，
$\therefore$取$1\times 3$的矩形，可得$a_{42}$符合等式，取$2\times 4$的矩形，可得$a_{53}$符合等式，取$3\times 5$的矩形，可得$a_{64}$符合等式，取$3\times 1$的矩形，可得$a_{24}$符合等式，取$4\times 2$的矩形，可得$a_{35}$符合等式，取$5\times 3$的等式，可得$a_{46}$符合等式，
向右平移$1\times 3$矩形，可以得到第四行全部符合等式，平移$3\times 1$的矩形，可以得到第四列全部符合等式，
取$3\times 1$的矩形，$\{a_{32}$，$a_{42}$，$a_{45}$，$a_{35}\}$，
$\therefore a_{32}$符合等式，
同理可得，$a_{56}$，符合等式，
再取$1\times 3$的矩形，可得$a_{23}$，$a_{65}$，$a_{62}$，符合等式，
再取$4\times 2$的矩形，可得$a_{25}$，$a_{36}$，$a_{52}$，$a_{55}$，$a_{66}$，符合等式，
再取$1\times 3$的矩形，可得$a_{26}$，$a_{22}$，符合等式，
最后再取$3\times 1$的矩形，可得$a_{33}$，$a_{63}$，符合等式，
综上，所有$a_{ij}$均符合，$a_{ij}=a_{i1}a_{1j}$．
〖分析〗先根据性质$P$，得出性质$P$的意义；
（Ⅰ）根据性质$P$的意义判定两个数阵即可；
（Ⅱ）根据性质$P$的意义先判断其中16个数，假设剩下的四个数都是1，构造数阵验证即可；
（Ⅲ）先判断第一行第一列，然后根据性质$P$，构造两边再第一行第一列的矩形，再构造$1\times 3$的矩形判定第四行，再构造不同的性质$P$矩形判定其他项即可证明．
〖解答〗性质$P:\because \vert k-p\vert$的意义为行差，$\vert l-q\vert$的意义为列差，
$\therefore m\times n$的数阵中，$x\times (x+2)$或$(x+2)\times x$的矩形框的四个顶点，满足和为0，
$\because a_{ij}=1$或$-1$，
$\therefore$这四个数为两个1，两个$-1$，
$\therefore$这四个数的任意两数之积等于另外两数之积；
（Ⅰ）解：$A_{1}$中，$m=2$，$n=4$，
$\therefore \vert k-p\vert =1$，$\vert l-q\vert \in \{1$，2，$3\}$，
$\therefore \vert l-q\vert =3$，
$\because a_{11}\times a_{24}=1$，$a_{21}\times a_{14}=-1$，
$\therefore a_{11}\times a_{24}\ne a_{21}\times a_{14}$，即不具有性质$P$，
$A_{2}$中，$m=3$，$n=4$，
$\therefore \vert k-p\vert =\{1$，$2\}$，$\vert l-q\vert =\{1$，2，$3\}$，
$\therefore \vert k-p\vert =1$，$\vert l-q\vert =3$，
$\because a_{11}a_{24}=a_{21}a_{14}=-1$，$a_{21}a_{34}=a_{31}a_{24}=1$，
$\therefore A_{2}$具有性质$P$；
（Ⅱ）解：$\because m=5$，$n=4$，
$\therefore \vert k-p\vert =\{1$，2，3，$4\}$，$\vert l-q\vert =\{1$，2，$3\}$，
构造四个不重合的$1\times 3$矩形，
$\therefore$$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{11}+{a}_{12}+{a}_{41}+{a}_{42}=0}\\ {{a}_{21}+{a}_{22}+{a}_{51}+{a}_{52}=0}\\ {{a}_{13}+{a}_{14}+{a}_{43}+{a}_{44}=0}\\ {{a}_{23}+{a}_{24}+{a}_{53}+{a}_{54}=0}\end{array}\right.$，
$\therefore$这16个数中有8个1和8个$-1$，
若剩下第三行都是1，构造如下：
$\left[\begin{array}{l}{1}&{-1}&{-1}&{1}\\ {-1}&{1}&{1}&{-1}\\ {1}&{1}&{1}&{1}\\ {-1}&{1}&{1}&{-1}\\ {1}&{-1}&{-1}&{1}\end{array}\right]$，符合性质$P$，
$\therefore$最多有$8+4=12$个1；
证明：（Ⅲ）当$i=1$或$j=1$时，
$\because a_{11}=1$，$a_{ij}=\{-1$，$1\}$，
$\therefore a_{1j}=a_{11}a_{1j}$或$a_{i1}=a_{11}a_{i1}$，${a}_{ij}^{2}=1$，
$\therefore$第一行和第一列均符合等式；
当符合$P$性质时，$a_{kl}a_{pq}=a_{pl}a_{kq}$，
已知其中三个数符合等式时，$a_{k1}a_{1l}a_{p1}a_{1q}=a_{p1}a_{1l}a_{kq}$，
$\therefore a_{kq}=a_{k1}a_{1q}$，即第四个数也符合等式，
$\because m=n=6$，
$\therefore \vert k-p\vert =\{1$，2，3，4，$5\}$，$\vert l-q\vert =\{1$，2，3，4，$5\}$，
$\therefore$取$1\times 3$的矩形，可得$a_{42}$符合等式，取$2\times 4$的矩形，可得$a_{53}$符合等式，取$3\times 5$的矩形，可得$a_{64}$符合等式，取$3\times 1$的矩形，可得$a_{24}$符合等式，取$4\times 2$的矩形，可得$a_{35}$符合等式，取$5\times 3$的等式，可得$a_{46}$符合等式，
向右平移$1\times 3$矩形，可以得到第四行全部符合等式，平移$3\times 1$的矩形，可以得到第四列全部符合等式，
取$3\times 1$的矩形，$\{a_{32}$，$a_{42}$，$a_{45}$，$a_{35}\}$，
$\therefore a_{32}$符合等式，
同理可得，$a_{56}$，符合等式，
再取$1\times 3$的矩形，可得$a_{23}$，$a_{65}$，$a_{62}$，符合等式，
再取$4\times 2$的矩形，可得$a_{25}$，$a_{36}$，$a_{52}$，$a_{55}$，$a_{66}$，符合等式，
再取$1\times 3$的矩形，可得$a_{26}$，$a_{22}$，符合等式，
最后再取$3\times 1$的矩形，可得$a_{33}$，$a_{63}$，符合等式，
综上，所有$a_{ij}$均符合，$a_{ij}=a_{i1}a_{1j}$．
〖点评〗本题主要考查了新定义，正确理解性质$P$的意义是解题的关键，属于难题．
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