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2026年高考数学北京-7<-->2025年高考数学北京-9
（4分）设函数$f(x)=\sin (x+\varphi )(0 < \varphi < 2\pi )$，将$y=f(x)$的图象沿$x$轴的正方向平移$3\varphi$个单位长度，所得图象与$y=f(x)$的图象关于$x$轴对称，则满足条件的$\varphi$的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
〖答案〗$C$
〖分析〗根据正弦函数平移性质，对称性等相关性质可解．
〖解答〗解：已知函数$f(x)=\sin (x+\varphi )(0 < \varphi < 2\pi )$，将$f(x)$向$x$轴正方向平移$3\varphi$个单位，
得$y=\sin (x-3\varphi +\varphi )=\sin (x-2\varphi )$，
又得到的函数图象与$f(x)$图象关于$x$轴对称，
则$\sin (x-2\varphi )=-\sin (x+\varphi )$，
则$\sin (x-2\varphi )+\sin (x+\varphi )=0$，
由和差化积公式可得：$2\sin (x-\dfrac{\varphi }{2})\cos (\dfrac{3\varphi }{2})=0$，
该等式恒成立，则$\cos (\dfrac{3\varphi }{2})=0$，
则$\dfrac{3\varphi }{2}=\dfrac{\pi }{2}+k\pi$，$k\in Z$，
则$\varphi =\dfrac{\pi }{3}+\dfrac{2k\pi }{3}$，$k\in Z$，
又$0 < \varphi < 2\pi$，则$\varphi =\dfrac{\pi }{3}$或$\varphi =\dfrac{5\pi }{3}$或$\varphi =\pi$，
则符合条件的$\varphi$有3个．
故选：$C$．
〖点评〗本题考查正弦函数的相关性质，属于中档题．
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