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2026年高考数学北京-11<-->2026年高考数学北京-13
（5分）已知公差为$d$的等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{6}=6a_{6}+30$，则$d=$____ ，使得$S_{n}\leqslant S_{5}$对所有$n$都成立的一个$a_{1}$的取值为____．
〖答案〗$-2$；9．
〖分析〗利用等差数列的求和公式及数列的单调性分析得出结论．
〖解答〗解：等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$S_{6}=6a_{6}+30$，
所以$6a_{1}+\dfrac{6\times 5}{2}d=6(a_{1}+5d)+30$，
所以$\dfrac{5}{2}d=5d+5$，
所以公差$d=-2$．
由$S_{n}\leqslant S_{5}$恒成立，可知$S_{5}$是前$n$项和的最大值，结合$d=-2 < 0$数列单调递减，可得：$\left\{\begin{array}{l}{a_{5}\ge 0}\\ {a_{6}\le 0}\end{array}\right.$，
代入通项公式$a_{n}=a_{1}-2(n-1)$，所以$\left\{\begin{array}{l}{a_{1}-8\ge 0}\\ {a_{1}-10\le 0}\end{array}\right.$，
解得$8\leqslant a_{1}\leqslant 10$，区间内任意取值均符合要求，例如9（或8、10等）．
故答案为：$-2$；9．
〖点评〗本题考查等差数列的求和公式及数列的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．
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