解答题

全国卷Ⅰ(文)

2004年

22．（本小题满分14分）

设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.

解答

2005年

（22）（本大题满分14分）

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的

直线交椭圆于A、B两点，与共线

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，

证明为定值

解答

2006年

(22）（本小题满分14分）

设a为实数，函数f(x)=x-ax+(a-1)x在（-，0）和（1，+）都是增函数，

求a的取值范围.

    解答

2007年

（22）（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，

过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．

（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

解答

全国卷Ⅱ(文)

2004年

22．（本小题满分14分）

       给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.

（Ⅰ）设的斜率为1，求夹角的大小；

（Ⅱ）设，求在轴上截距的变化范围.

解答

2005年

（22）（本小题满分12分）

、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．

已知与共线，与共线，且．求四边形的面积

的最小值和最大值．

解答

2006年

（22）（本小题满分１２分）

已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且

过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

    （I）证明为定值；

    （II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。

      解答

2007年

22．（本小题满分12分）

已知函数

在处取得极大值，在处取得极小值，且．

（1）证明；

（2）若z=a+2b,求z的取值范围。

解答

全国卷Ⅲ(文)

2004年

22.（本小题满分12分）设椭圆的两个焦点是与，

且椭圆上存在一点，使得直线与垂直.

（1）求实数的取值范围；

（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点，若，

求直线的方程.

解答

2005年

(22) (本小题满分14分)

设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，

（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

（Ⅱ）当时，求直线的方程

解答

全国卷Ⅳ(文)

2004年

22．（本小题满分14分）

    双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），

且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双

曲线的离心率e的取值范围.

 解答

北京卷(文)

2004年

（20）（本小题满分12分）

    给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将

这些数按下列要求进行分组， 每组数之和不大于150且分组的步骤是：

    首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和

的差与所有可能的其他选择 相比是最小的，称为第一组余差；

    然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构

成第二组，这时的余差为； 如此继续构成第三组（余差为）、第四组

（余差为）、……，直至第N组（余差为）把这些数全部分 完为止。

    （I）判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
   

    （II）当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证明

    （III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：

解答

2005年

(20)(本小题共14分)

     如图,直线与直线之间的阴影区域(不含边界)记为,

     其左半部分记为,右半部分记为

      (Ⅰ)分别有不等式组表示和

      (Ⅱ)若区域中的动点到的距离

     之积等于,求点的轨迹的方程;

      (Ⅲ)设不过原点的直线与(Ⅱ)中的曲线

     相交于两点,且与分别交于两点.

     求证△的重心与△的重心重合

解答

2006年

(20)(本小题共14分)

设等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都为整数，前n项和为S_n.

(Ⅰ)若a₁₁=0，S₁₄=98，求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若a₁≥6，a₁₁＞0，S₁₄≤77，求所有可能的数列{a_n}的通项公式.

解答

2007年

20．（本小题共14分）

已知函数与的图象相交于，，，分别

是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．

（I）求的取值范围；

（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，

并求其定义域和值域；

（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．

解答

天津卷(文)

2004年

22.（本小题满分14分）

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的

准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程。

解答

2005年

(22)(本小题满分14分)

   抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x₀,y₀)(x₀¹0)作斜率

   为k₁,k₂的两条直线分别交抛物线C于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点(P、A、B三点

   互不相同)，且满足

   (Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程

   (Ⅱ)设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上

   (Ⅲ)当=1时，若点P的坐标为(1,-1)，求ÐPAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围

     解答

2006年

(22)(本小题满分14分)

如图，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F₁、F₂分别

为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且.

 (Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)设A(m，0)和B(，0)

是x轴上的两点.过点A作斜率不为0的

直线l，使得l交双曲线于C、D两点，

作直线BC交双曲线于另一点E.证明直线DE垂直于x轴.

解答

2007年

（22）（本小题满分14分）

设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，

原点到直线的距离为．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交

椭圆于，两点，则．

解答

上海卷(文)

2004年

22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分

  设P₁(x₁,y₁), P₁(x₂,y₂),…, P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点,

且a₁=², a₂=², …, a_n=²构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列,

其中O是坐标原点. 记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)      若C的方程为－y²=1,n=3. 点P₁(3,0) 及S₃=162, 求点P₃的坐标；

 (只需写出一个)

(2)      若C的方程为y²=2px(p≠0). 点P₁(0,0), 对于给定的自然数n, 证明：

(x₁+p)², (x₂+p)², …,(x_n+p)²成等差数列；

(3)      若C的方程为(a>b>0). 点P₁(a,0), 对于给定的自然数n, 当

公差d变化时, 求S_n的最小值.

解答

2005年

22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，

第3小题满分6分

  对定义域是.的函数.，

   规定：函数

  （1）若函数 ，，写出函数的解析式；

  （2）求问题（1）中函数的值域；

  （3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的

   函数，及一个的值，使得，并予以证明

 解答

2006年

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，

第3小题满分8分.

已知函数y=x＋有如下性质，如果常数a＞0，那么该函数在］上是

减函数，在［，+∞）上是增函数.

（1）如果函数y＝x+在（0，4］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数，

求实常数b的值；

（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值；

（3）当n是正整数时，研究函数g（x）=xⁿ-（c＞0）的单调性，并说明理由.

解答

2007年

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，

第3小题满分9分．

我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作

“果圆”，其中，，．

如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的

交点，是线段的中点．

（1）若是边长为1的等边三角形，求该

“果圆”的方程；

（2）设是“果圆”的半椭圆

上任意一点．求证：当取得最小值时，

在点或处；

    （3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

解答

辽宁卷（文）

2004年

22．（本小题满分12分）

已知函数.

   （1）求函数的反函数的导数

   （2）假设对任意成立，求实

数m的取值范围.

解答

2005年

22．（本小题满分12分）

 函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设

是曲线在点（）得的切线方程，并设

函数

   （Ⅰ）用、、表示m；

   （Ⅱ）证明：当；

   （Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，

         求b的取值范围及a与b所满足的关系.

     解答

     2006年（文）

22．（本小题满分14分）

已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，

向量满足，设圆的方程为．

（1）证明线段是圆的直径；

（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值．

解答

2007年

22．（本小题满分12分）

已知函数，，且对任意的实数均

有，．

（I）求函数的解析式；

（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．

解答

江苏卷

2004年

22.已知函数满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有

  和，其中是大于0的常数.

设实数a₀，a，b满足 和

(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)证明；

(Ⅲ)证明.

 解答

     浙江卷(文)

2004年

（22）（本题满分14分）

解：已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双

曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1。

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的

  取值范围；

（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲

线的方程。

 解答

2005年

20.函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＝2x．

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

（Ⅲ）若在上是增函数，求实数的取值范围

解答

2006年

(20)设f(x)=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)f(1)＞0，求证：

    (Ⅰ)方程f(x)=0有实根；

    (Ⅱ)-2＜＜-1；

    (Ⅲ)设x₁，x₂是方程f(x)=0的两个实根，则≤|x₁-x₂|＜．

解答

福建卷(文)

2004年

22．（本小题满分14分）

     已知f(x)=在区间[－1，1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：

是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]

恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

 解答

2005年

22．（本小题满分12分）

已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和

椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点

在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，

满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；

若不存在，请说明理由.

            解答

2006年

（22）（本小题满分14分）

       已知数列满足

       （I）证明：数列是等比数列；

       （II）求数列的通项公式；

       （II）若数列满足证明是等差数列。

解答

2007年

22．（本小题满分14分）

如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，

且．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．

（1）已知，，求的值；

（2）求的最小值．

解答

湖北卷(文)

2004年

22．（本小题满分14分）

已知的图象相切.

（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；

（Ⅱ）设函数内有极值点，求c的取值范围.

 解答

2005年

22．（本小题满分14分）

     设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，

     线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点

   （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

 （Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由

解答

2006年

21．（本小题满分14分）

设A、B分别为椭圆=1（a，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，

且x=4是它的右准线。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AB，BP分别与椭圆相交于

异于A，B的M、N，证明点B在以MN为直径的圆内.

解答

2007年

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）

相交于两点．

（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的

弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

（此题不要求在答题卡上画图）

 解答

湖南卷(文)

2004年

22．（本小题满分14分）

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线

交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:

（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有

共同的切线，求圆C的方程.

                           解答

2005年

21．（本小题满分14分）

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e.

直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公

共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.

   （Ⅰ）证明：λ＝1－e2；

   （Ⅱ）若，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；

   （Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.

解答

2006年

21.（本小题满分14分）

已知椭圆C₁∶=1，抛物线C₂∶（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB

过椭圆C₁的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)若P=且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及AB的方程．

解答 

2007年

21．（本小题满分13分）

已知函数在区间，内各有一个极值点．

（I）求的最大值；

（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过

函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧

进入另一侧），求函数的表达式．

解答

广东卷（文）

2004年

22．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x²–y²=1

相交于C、D两点， C、D三等分线段AB. 求直线的方程.

  解答

2005年

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、

y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落

在线段DC上.

    （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，

     试写出折痕所在直线的方程；

    （Ⅱ）求折痕的长的最大值.

     解答

     2006年

20．（本小题满分12分）

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数（x）组成的集合：

①对任意的都有(2x);②存在常数L（0＜L＜1），

使得对任意的x₁,x₂[1，2]，都有|（2x₁）- (2x₂)|.

（Ⅰ）设（x）=证明：（x）A:

 (Ⅱ)设（x），如果存在x₀(1,2),使得x₀=（2x₀）,

那么这样的x₀是唯一的：

（Ⅲ）设任取x₁(1,2),令x_n+1=（2x_n）,n=1,2……证明：给定

正整数k，对任意的正整数p,成立不等式。

解答

2007年

21．（本小题满分14分）

已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．

解答

重庆卷(文)

2004年

22．（本小题满分14分）

      设数列满足:

(1)     令求数列的通项公式；

(2)  求数列的前n项和。

解答

2005年

22．（本小题满分12分）

数列记

    （Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；

    （Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和

解答

2006年

(22)（本小题满分12分）

如图，对每个正整数n，A_n（x_n，y_n）是抛物线x²=4y上的点，

过焦点F的直线FA.交抛物线于另一点B_n（s_n，t_n）.

解答

2007年

22．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知各项均为正数的数列的前项和满足，

且．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，

求证：．

解答

山东卷(文)

2005年

(22) （本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别

为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标

解答

2006年

（22）（本小题满分14分）

已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令

(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和。是否存在实数，使得

数列为等差数列？若存在，试求出；若不存在，则说明理由。

解答

2007年

22．（本小题满分14分）

       已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离

的最大值为3，最小值为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以   

 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

解答

江西卷(文)

2005年

22．（本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3

求数列{an}的通项公式.

解答

2006年

22．(本小题满分14分)

    已知各项均为正数的数列{a_n}满足=a_na_n+1，n∈N^*．

    (1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设S_n=a²₁+a²₂+…+a²_n，T_n=，求S_n+T_n，并确定最小正整数

n，使S_n+T_n为整数．

解答

2007年

22．（本小题满分14分）

设动点到点和的距离分别为和，，

且存在常数，使得．

（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．

问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰

直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解答

陕西卷(文)

2006年

22．（本小题满分12分）

    设(k≥0)

（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；

  （Ⅱ）若函数的极小值大于0，求k的取值范围.

解答

2007年

22．（本小题满分14分）

已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，

求面积的最大值．

解答

四川卷(文)

2006年

（22）（本大题满分14分）

已知两定点，满足条件的点的轨迹是

曲线，直线与曲线交于两点

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）如果，且曲线上存在点，使，

求的值和的面积S.

解答

2007年

（22）(本小题满分14分)

已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴

的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数.

（Ⅰ）用xx表示xn+1；

（Ⅱ）若a1=4，记an=lg，证明数列｛a1｝成等比数列，

并求数列｛xn｝的通项公式；

（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.

解答

安徽卷(文)

2006年

（22）（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：的右

焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标

原点。已知四边形为平行四边形，。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；

（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，

求此时的双曲线方程。

 解答

2007年

21．（本小题满分14分）

某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，

以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目

是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不

仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，

在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就

变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．

（Ⅰ）写出与的递推关系式；

（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．

解答

海南宁夏卷(文)

2007年

22．请考生在Ａ、Ｂ两题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，

圆心在的内部，点是的中点．

（Ⅰ）证明四点共圆；

（Ⅱ）求的大小．

22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

和的极坐标方程分别为．

（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．

解答