三、解答题

21．（本小题满分14分）

某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，

以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目

是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不

仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，

在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就

变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．

（Ⅰ）写出与的递推关系式；

（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．

本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、

提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．

本小题满分14分．

解：（Ⅰ）我们有．

（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得

  ，         ①

在①式两端同乘，得

    ②

②①，得

                     ．

即．

如果记，，

则．

其中是以为首项，以为公比的等比数列；

是以为首项，为公差的等差数列．