解答题

全国卷Ⅰ(文)

2004年

19．（本小题满分12分）

已知在R上是减函数，求的取值范围.

解答

2005年

（19）（本大题满分12分）

已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为

（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；

（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围

解答

2006年

(19) (本小题满分12分)

A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小

白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有

效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A

有效的概率为,服用B有效的概率为.

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；

(Ⅱ)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.

解答

2007年

（19）（本小题满分12分）

四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，

已知，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．

解答

全国卷Ⅱ(文)

2004年

19．（本小题满分12分）

 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.

求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；

（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.

解答

2005年

（19）（本小题满分12分）

已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列．又，…．

    （Ⅰ）证明为等比数列；

    （Ⅱ）如果数列前３项的和等于，求数列的首项和公差．

解答

2006年

（19）（本小题满分１２分）

某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，

再从每箱中任意抽取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中

分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。

   （I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。

   （II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购

买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。

      解答

2007年

19．（本小题满分12分）

从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：

“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中

至少有一件二等品”的概率．

解答

全国卷Ⅲ(文)

2004年

19. （本上题满分12分）

设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且

，求数列的通项公式.

 解答

2005年

(19)（本小题满分12分）

    四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，

    平面VAD⊥底面ABCD

    1）求证AB⊥面VAD；

    2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

   解答

全国卷Ⅳ(文)

2004年

19．（本小题满分12分）

    已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线

的另一条切线，且

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.

解答

北京卷(文)

2004年

（17）（本小题满分14分）

    如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），

A（），B（）均在抛物线上。

    （I）写出该抛物线的方程及其准线方程

    （II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线AB的斜率

解答

2005年

(17)(本小题共13分)

数列的前n项和为S,且n=1,2,3….求

   （I）的值及数列的通项公式；

   （II）的值.

解答

2006年

(17)(本小题共14分)

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱.

(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC₁A₁；

(Ⅱ)若二面角C₁-BD-C的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小.

解答

2007年

17．（本小题共14分）

如图，在中，，斜边．可以通过以

直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．

（I）求证：平面平面；

（II）求异面直线与所成角的大小．

解答

天津卷(文)

2004年

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，

，是PC的中点。

（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

解答

2005年

（19）（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱中，，

侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点

（Ⅰ）求与底面ABC所成的角

（Ⅱ）证明∥平面

（Ⅲ）求经过四点的球的体积

解答

2006年

(19)(本小题满分12分)

    如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，

面CDE是等边三角形，棱EFBC.

(Ⅰ)证明FO∥平面CDE；

(Ⅱ)设BC=CD，证明EO⊥平面CDF

 解答

2007年

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面，

，，是的中点．

（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

解答

上海卷(文)

2004年

19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分

  记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)

 的定义域为B.

(1) 求A；

(2) 若BA, 求实数a的取值范围.

   解答

2005年

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知函数的图象与轴分别相交于点A.B，（分别是

与轴正半轴同方向的单位向量），函数

（1）求的值；

（2）当满足时，求函数的最小值

解答

2006年

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分. 第2小题满分9分.

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°.AB=BC=1，

（1）求异面直线B₁C₁与AC所成角的大小；

（2）若直线A₁C与平面ABC所成角为45°.求三棱柱A₁-ABC的结果.

解答

2007年

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到

670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%

（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

   （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

   （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年

的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持

在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产

量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精

确到0.1%）？

解答

辽宁卷（文）

2004年

19．（本小题满分12分）

设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，

点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

   （1）动点P的轨迹方程；

   （2）的最小值与最大值.

解答

2005年

19．（本小题满分12分）

  已知函数设数列}满足，数列}满足

    （Ⅰ）用数学归纳法证明；

    （Ⅱ）证明

解答

2006年（文）

19．（本小题满分12分）

已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，

如图所示，记二面角的大小为（）．

（1）证明平面；

（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线

上，证明你的结论，并求角的余弦值.

解答

2007年

19．（本小题满分12分）

已知函数（其中）

（I）求函数的值域；

（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，

求函数的单调增区间．

解答

江苏卷

2004年

19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.

  某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大

盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计

划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投

资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

 解答

2005年

21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）

   如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，，

⑴求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；

⑵证明：BC⊥平面SAB；

⑶用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小（本小问不必写出解答过程）

解答

2006年

（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，

     第三小问满分5分）

　　　在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足

     AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，

     使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

   （Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角B－A₁P－F的大小（用反三角函数表示）

解答

2007年

19．（本题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，

与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和

直线交于点．

（1）若，求的值；（5分）

（2）若为线段的中点，

求证：为此抛物线的切线；（5分）

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）

解答

浙江卷(文)

2004年

（19）（本题满分12分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

 AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；

（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；

 解答                          D

2005年

17．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，

从B中摸出一个红球的概率为p．

(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次求

(i)恰好有3摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率．

(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为，将A、B中的球装在一起后，从中摸

出一个红球的概率是，求p的值．

解答

2006年

(17)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，

PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．

    (Ⅰ)求证：PB⊥DM；

    (Ⅱ)求BD与平面ADMN所成的角．

解答

2007年

20．（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，平面，

，且，是的中点．

（I）求证：；

（II）求与平面所成的角的正切值．

解答

福建卷(文)

2004年

19．（本小题满分12分）

在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

SA=SC=2，M为AB的中点.

 （Ⅰ）证明：AC⊥SB；             

 （Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；

 （Ⅲ）求点B到平面SMN的距离.

              解答

2005年

19．已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

   （Ⅰ）求q的值；

   （Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，

         当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.

解答

2006年

（19）（本小题满分12分）

       如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

       （I）求证：平面BCD；

       （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；

       （III）求点E到平面ACD的距离。

解答

2007年

19．（本小题满分12分）

如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

解答

湖北卷(文)

2004年

19．（本小题满分12分）

    如图，在Rt△ABC中，已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点，

问的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值.

　　　　　　　　　　解答

2005年

19．（本小题满分12分）

       设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且

   （Ⅰ）求数列和的通项公式；

   （Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn

解答

2006年

18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长为1，M是底面BC边上的中点，

N是侧棱CC₁上的点，且CN=2C₁N。

（Ⅰ）求二面角B₁—AM—N的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求点B₁到平面AMN的距离。

解答

2007年

18．（本小题满分12分）

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量

可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值

（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，

一星期多卖出24件．

（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

 解答

湖南卷(文)

2004年

19．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的
    零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的
    零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机
    床加工的零件都是一等品的概率为.

（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

 解答

2005年

18．（本题满分12分）

　  如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，

    将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.

　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；

 （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

       解答                              图1

     2006年

18．(本小题满分14分)

    如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都为2，AB=4．

    (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

    (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

    (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离．

      解答

2007年

18．（本小题满分12分）

如图3，已知直二面角，，，，，，

直线和平面所成的角为．

（I）证明；

（II）求二面角的大小．

解答

     广东卷（文）

2004年

19. (12分)设函数

(1) 证明: 当0< a < b ,且时,ab >1;

(2) 点P (x₀, y₀ ) (0< x₀ <1 )在曲线上,求曲线在点P处的

切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x₀表达).

解答

2005年

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B

满足AO⊥BO（如图4所示）.

   （Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条

    中线的交点）的轨迹方程；

   （Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，

    请求出最小值；若不存在，请说明理由.

解答

2006年

17．（本小题满分14分）

    如图所示，AF、DE分别是⊙、⊙₁的直径。AD与两圆所在的平面均

垂直，AD=8，BC是⊙的直径，AB=AC=6，OE//AD。

    （Ⅰ）求二面角B-AD-F的大小；

    （Ⅱ）求直线BD与EF所成的角。

解答

2007年

18．（本小题满分12分）

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与

相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据．

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的

线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

（参考数值：）

解答

重庆卷(文)

2004年

19．（本小题满分12分） 

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

(1)  证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；

(2)  若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。

解答

2005年

19．（本小题满分13分）

设函数R.

（1）若处取得极值，求常数a的值；

（2）若上为增函数，求a的取值范围.

解答

2006年

(19)（本小题满分12分）

设函数f（x）=x³－3ax²+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，－11）.

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)讨论函数f（x）的单调性.

解答

2007年

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

如题19图，在直三棱柱中，，

；点在棱上，

；，垂足为，求：

（Ⅰ）异面直线与的距离；

（Ⅱ）四棱锥的体积．

解答

山东卷(文)

2005年

(19) （本小题满分12分）

  已知是函数的一个极值点,其中.

（Ⅰ）求m与n的关系表达式;

（Ⅱ）求的单调区间；

 解答

2006年

（19）（本小题满分12分）

盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，

每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；

(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；

(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.

解答

2007年

19．（本小题满分12分）

本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用

不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定

甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元

和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益

最大，最大收益是多少万元？

解答

江西卷(文)

2005年

19．（本小题满分12分）

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝

上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏

终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.

解答

2006年

19．(本小题满分12分)

    在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA=，

    (1)求tan²+sin²的值；

    (2)若a=2，S_△ABC=，求b的值．

解答

2007年

19．（本小题满分12分）

栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树

成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．

（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；

（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．

解答

陕西卷(文)

2006年

（１９）（本小题满分１２分）

如图，点A在直线上的射影为点B在上的射影为

已知求：

       （I）直线AB分别与平面所成角的大小；

       （II）二面角的大小。

(第19题图)

解答

2007年

19．（本小题满分12分）

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，平面．．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

解答

四川卷(文)

2006年

（19）（本大题满分12分）

某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与

“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、

丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概

率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）

解答

2007年

(19)　(本小题满分12分)

如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，

又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°      

(Ⅰ)求证：AC⊥BM;

(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；

（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.

解答

安徽卷(文)

2006年

（19）（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，

，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明⊥；

（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。

解答

2007年

18．（本小题满分14分）

设是抛物线的焦点．

（I）过点作抛物线的切线，求切线方程；

（II）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长，

分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．

解答

海南宁夏卷(文)

2007年

19．（本小题满分12分）

设函数

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．

解答