三、解答题

18．（本小题满分12分）

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量

可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值

（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，

一星期多卖出24件．

（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识

解决实际问题的能力．

解：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，

则依题意有，

又由已知条件，，于是有，

所以．

（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有．

故时，达到极大值．因为，，

所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．