解答题
全国卷Ⅰ(文)
2004年
18.(本小题满分12分)
求函数的最小正周期、最大值和最小值.
2005年
(18)(本大题满分12分)
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,
且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小
2006年
(18)(本小题满分12分)
的三个内角为A、B、C,求当A为何值时取得最大值,
并求出这个最大值。
2007年
(18)(本小题满分12分)
某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,
顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,
商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.
(Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;
(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.
全国卷Ⅱ(文)
2004年
18.(本小题满分12分)
已知锐角三角形ABC中,
(Ⅰ)求证;
(Ⅱ)设AB=3,求AB边上的高.
2005年
(18) (本小题满分12分)
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.60,
本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.
(Ⅰ)前三局比赛甲队领先的概率;
(Ⅱ)本场比赛乙队以3:2取胜的概率.
(精确到0.001)
2006年
(18)(本小题满分12分)
设等比数列的前n项和为,
2007年
18.(本小题满分12分)
在中,已知内角,边.设内角,周长为.
(1)求函数的解析式和定义域;
(2)求的最大值.
全国卷Ⅲ(文)
2004年
18.(本小题满分12分)已知为锐角,且,求的值.
2005年
(18)(本小题满分12分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一小时内,甲、
乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照
顾的概率为0.125,
(Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少;
(Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率
全国卷Ⅳ(文)
2004年
18.(本小题满分12分)
已知数列{}为等比数列,
(Ⅰ)求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)设是数列{}的前项和,证明
北京卷(文)
2004年
(16)(本小题满分14分)
如图,在正三棱柱中,AB=2,,由顶点B沿棱柱侧
面经过棱到顶点的最短路线 与的交点记为M,求:
(I)三棱柱的侧面展开图的对角线长
(II)该最短路线的长及的值
(III)平面与平面ABC所成二面角(锐角)的大小
2005年
(16)(本小题共14分)
如图, 在直三棱柱中, ,
点为的中点
(Ⅰ)求证;
(Ⅱ) 求证;
(Ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值
2006年
(16)(本小题共13分)
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图象经
过点(1,0),(2,0),如图所示.求:
(Ⅰ)x0的值;
(Ⅱ)a,b,c的值.
2007年
16.(本小题共13分)
数列中,(是常数,),且成公比
不为的等比数列.
(I)求的值;
(II)求的通项公式.
天津卷(文)
2004年
18.(本小题满分12分)
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。
(1)求所选3人都是男生的概率;
(2)求所选3人中恰有1名女生的概率;
(3)求所选3人中至少有1名女生的概率。
2005年
(18)(本小题满分12分)
若公比为c的等比数列的首项且满足(n3,4,…)
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求数列的前n项和
2006年
(18)(本小题满分12分)
甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床产品的正品率
是0.9,乙机床产品的正品率是0.95.
(Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取3件,求其中恰有2件正品的概率
(用数字作答);
(Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件,求其中至少有1件
正品的概率(用数字作答).
2007年
(18)(本小题满分12分)
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球,乙盒内有大小相同的5个红球和
4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(Ⅰ)求取出的4个球均为红球的概率;
(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
上海卷(文)
2004年
18、(本题满分12分)
某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为
x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2.
问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
2005年
18.(本题满分12分)在复数范围内解方程(为虚数单位)
2006年
18.(本题满分12分)
如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘
渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南
偏西30,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向
沿直线前往B处救援(角度精确到1)?
2007年
17.(本题满分14分)
在中,分别是三个内角的对边.若,
,求的面积.
辽宁卷(文)
2004年
18.(本小题满分12分)
设全集U=R
(1)解关于x的不等式
(2)记A为(1)中不等式的解集,集合,
若( ∪A)∩B恰有3个元素,求a的取值范围.
2005年
18.(本小题满分12分)
如图,在直径为1的圆O中,作一关于圆心对称、
邻边互相垂直的十字形,其中
(Ⅰ)将十字形的面积表示为的函数;
(Ⅱ)为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?
2006年(文)
18.(本小题满分12分)
甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛,参赛同学成绩及格的概率都为0.6,
且参赛同学的成绩相互之间没有影响,求:
(1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率;
(2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率.
2007年
18.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,,,分别为棱的中点,
为棱上的点,二面角为.
(I)证明:;
(II)求的长,并求点到平面的距离.
江苏卷
2004年
18.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,
点P在棱CC1上,且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP;
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.
2005年
20.(本小题满分12分,每小问满分4分)甲.乙两人各射击一次,
击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;
每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响
⑴求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
⑵求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
⑶假设某人连续2次未击中目标,则停止射击问:乙恰好射击5次后,被中止
射击的概率是多少?
2006年
(18)(本小题满分14分)
请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是
侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中
心的距离为多少时,帐篷的体积最大?
2007年
18.(本题满分12分)
如图,已知是棱长为的正方体,
点在上,点在上,且.
(1)求证:四点共面;(4分)
(2)若点在上,,点在上,
,垂足为,求证:平面;(4分)
(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.(4分)
浙江卷(文)
2004年
(18)(本题满分12分)
在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求bc的最大值。
2005年
16.已知实数成等差数列,成等比数列,且,求
2006年
(16)如图,函数的图象与y轴交于点(0,1)
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设P是图象上的最高点,M、N是图象与x轴的交点,求与的夹角。
2007年
19.(本题14分)已知数列中的相邻两项是关于的方程
的两个根,且.
(I)求,,,及()(不必证明);
(II)求数列的前项和.
福建卷(文)
2004年
18.(本小题满分12分)
甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲
能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中
随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.
(Ⅰ)分别求甲、乙两人考试合格的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
2005年
18.(本小题满分12分)
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为,投中得1分,投不中得0分.
(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率;
(Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率;
2006年
(18)(本小题满分12分)
每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字
(I)连续抛掷2次,求向上的数不同的概率;
(II)连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率;
(III)连续抛掷5次,求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。
2007年
18.(本小题满分12分)
甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是,,
且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:
(Ⅰ)甲试跳三次,第三次才成功的概率;
(Ⅱ)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;
(Ⅲ)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.
湖北卷(文)
2004年
18.(本小题满分12分)
如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,AC与BD交于点E,
CB与CB1交于点F.
(I)求证:A1C⊥平BDC1;
(II)求二面角B—EF—C的大小(结果用反三角函数值表示).
2005年
18.(本小题满分12分)
在△ABC中,已知,求△ABC的面积
2006年
17.(本小题满分12分)
某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参
加了其中一组,在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人
占10%。登山组的职工占参加活动总人数的,且该组中,青年人占50%,中年人
占40%,老年人占10%。为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,
现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本,试确定
(Ⅰ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例;
(Ⅱ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。
2007年
17.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,,,是的中点,且,
.
(I)求证:平面平面;
(II)试确定角的值,使得直线与
平面所成的角为.
湖南卷(文)
2004年
18.(本小题满分12分)
如图,在底面 是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,
PB=PD=,点E是PD的中点.
(I)证明PA⊥平面ABCD,PB∥平面EAC;
(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角的正切值.
2005年
17.(本小题满分12分)
已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,
求角A、B、C的大小.
2006年
17.(本小题满分12分)
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,
则必须整改.若整改后经复查仍不合格,则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格
是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率
是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
2007年
17.(本小题满分12分)
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,
每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加
过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选
择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.
(I)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
(II)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培养的概率.
广东卷(文)
2004年
18. (12分)如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2.
E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
2005年
16.(本小题满分14分)
如图3所示,在四面体P—ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=.
F是线段PB上一点,,点E在线段AB上,且EF⊥PB.
(Ⅰ)证明:PB⊥平面CEF;
(Ⅱ)求二面角B—CE—F的大小.
2006年
16.(本小题满分12分)
某运动员射击一次所得环数X的分布如下:
X |
0-6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
p |
0 |
0.2 |
0.3 |
0.3 |
0.2 |
现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为。
(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率:
(Ⅱ)求的分布列:
(Ⅲ)求的数学期望E。
2007年
17.(本小题满分12分)
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8,
高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积;
(2)求该几何体的侧面积.
重庆卷(文)
2004年
18.(本小题满分12分)
设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
(1) 三人各向目标射击一次,求至少有一人命中目标的概率及恰有
两人命中目标的概率;
(2) 若甲单独向目标射击三次,求他恰好命中两次的概率。
2005年
18.(本小题满分13分)
加工某种零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的合格率分别为、、,
且各道工序互不影响.
(Ⅰ)求该种零件的合格率;
(Ⅱ)从该种零件中任取3件,求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的
概率.
2006年
(18)(本小题满分13分)
函数f(x)=cos2ωx+sinωxcosωx+a(其中ω>0,a∈R),且f(x)的
图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(Ⅰ)求ω的值:
(Ⅱ)如果f(x)在区间[]上的最小值为,求a的值.
2007年
18.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)
已知函数.
(Ⅰ)求的定义域;
(Ⅱ)若角在第一象限且,求.
山东卷(文)
2005年
(18) (本小题满分12分)
袋中装有罴球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人
从袋中轮流摸取1个球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到两人
中有一人取到白球时即终止 每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用表示
取球终止时所需的取球次数.
(Ⅰ)求袋中原有白球的个数;
(Ⅱ)求取球2次终止的概率;
(Ⅲ)求甲取到白球的概率
2006年
18.(本小题满分12分)
已知函数F(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<),且y=f(x)的最大值为2,
其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).
(Ⅰ)求φ;
(Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008).
2007年
18.(本小题满分12分)
设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和.已知,
且构成等差数列.
(1)求数列的等差数列.
(2)令求数列的前项和.
江西卷(文)
2005年
18.(本小题满分12分)
已知向量.
求函数f(x)的最大值,最小正周期,并写出f(x)在[0,π]上的单调区间.
2006年
18.(本小题满分12分)
某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中
每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球获得二等奖;摸出两个
红球获得一等奖.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.求
(1)甲、乙两人都没有中奖的概率;
(2)甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率.
2007年
18.(本小题满分12分)
如图,函数的图象与轴相交于点,
且该函数的最小正周期为.
(1)求和的值;
(2)已知点,点是该函数图象
上一点,点是的中点,
当,时,求的值.
陕西卷(文)
2006年
(18)(本小题满分12分)
已知函数
(I)求函数的最小正周期;
(II)求使函数取得最大值的集合。
2007年
18.(本小题满分12分)
某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,
否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别
为,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
(注:本小题结果可用分数表示)
四川卷(文)
2006年
(18)(本大题满分12分)
已知是三角形三内角,向量m=(-1,),n=(cosA,sinA),且mn=1.
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,求tanC.
2007年
(18)(本小题满分12分)
已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,
(Ⅰ)求tan2α的值;
(Ⅱ)求β.
安徽卷(文)
2006年
(18)(本大题满分12分)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,
需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种
不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。
根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。
(Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率;
(Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率;
2007年
17.(本小题满分14分)
如图,在六面体中,四边形是边长为
2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面
,平面,.
(Ⅰ)求证:与共面,与共面.
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示).
海南宁夏卷(文)
2007年
18.(本小题满分12分)
如图,为空间四点.在中,.等边三角形以为轴运动.
(Ⅰ)当平面平面时,求;
(Ⅱ)当转动时,是否总有?证明你的结论.
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