解答题

    18．（本小题满分12分）

    如图，在底面 是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a,

    PB=PD=,点E是PD的中点.

   （I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

   （II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.

   解:

（Ⅰ）证法一  因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB²   知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

因为

所以  、、共面.

又PB平面EAC，所以PB//平面EAC.

证法二  同证法一得PA⊥平面ABCD.

连结BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

连结OE，因为E是PD的中点，所以PB//OE.

又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC.

（Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.

又E是PD的中点，从而G是AD的中点，

所以