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2023年高考数学新高考Ⅱ-11<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-13
（5分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为$\alpha (0 < \alpha < 1)$，收到0的概率为$1-\alpha$；发送1时，收到0的概率为$\beta (0 < \beta < 1)$，收到1的概率为$1-\beta$．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为$1)($ $)$
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为$(1-\alpha )(1-\beta )^{2}$
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为$\beta (1-\beta )^{2}$
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为$\beta (1-\beta )^{2}+(1-\beta )^{3}$
D．当$0 < \alpha < 0.5$时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
答案：$ABD$
分析：根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：$(1-\beta )(1-\alpha )(1-\beta )=(1-\alpha )(1-\beta )^{2}$，故$A$正确；
采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：$(1-\beta )\beta (1-\beta )=\beta (1-\beta )^{2}$，故$B$正确；
采用三次传输方案，若发送1，
则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，
故所求概率为：${C}_{3}^{2}\beta (1-\beta )^{2}+(1-\beta )^{3}$，故$C$错误；
三次传输方案发送0，译码为0的概率$P_{1}={C}_{3}^{2}\alpha (1-\alpha )^{2}+(1-\alpha )^{3}$，
单次传输发送0译码为0的概率$P_{2}=1-\alpha$，
${P}_{2}-{P}_{1}=(1-\alpha )-{C}_{3}^{2}\alpha (1-\alpha )^{2}-(1-\alpha )^{3}=(1-\alpha )[1-{C}_{3}^{2}\alpha (1-\alpha )-(1-\alpha )^{2}]$
$=(1-\alpha )(2\alpha ^{2}-\alpha )$
$=(1-\alpha )\alpha (2\alpha -1)$，
当$0 < \alpha < 0.5$时，$P_{2}-P_{1} < 0$，
故$P_{2} < P_{1}$，故$D$正确．
故选：$ABD$．
点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
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