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2020年高考数学全国卷Ⅲ--理20

(2020新课标Ⅲ卷计算题)

已知椭圆)的离心率为分别为的左、右顶点。

(1)求的方程。

(2)若点上,点在直线上,且,求的面积。

【出处】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷):理数第20题
【答案】

(1)因为

所以椭圆的焦点在轴上,

由椭圆方程可知

因为离心率为

所以

所以

所以

所以椭圆的方程为

(2)设点

已知

所以

因为

所以。①

又因为

所以

所以,即

将其代入①式有

所以

又因为

所以直线的方程为,即

可得的距离为

又因为

所以

时,

此时

所以,代入可得

同理时,

综上所述,的面积为

【解析】

本题主要考查直线与圆锥曲线和圆锥曲线。

(1)通过椭圆方程和离心率可求出,进而求出椭圆的方程为

(2)设点,由,且求得,再求出的距离为,进而求出

时,可得,同理时,,所以的面积为

【考点】
椭圆的概念、性质与基本量的计算直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线
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