2020年高考数学全国卷Ⅲ--理20<-->2020年高考数学全国卷Ⅲ--理22
设函数，曲线在点处的切线与轴垂直。
（1）求。
（2）若有一个绝对值不大于的零点，证明：所有的零点的绝对值都不大于。
（1）因为，
所以，
由题意得，
所以。
（2）证明 ：由（1）可得，
令得到，
令，
则函数的零点即函数的图象与直线的交点的横坐标，
因为，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以作出函数的图象，如图所示。
因为函数有一个绝对值不大于的零点，
所以，，
所以命题得证。
①当时，函数的图象与函数的图象有两个交点，
其中一个交点横坐标为，
所以函数的图象与函数的图象的另一个交点的横坐标为，
所以函数所有零点的绝对值都不大于。
②当时，与②类似，原命题得证。
san当时，函数的图象与函数的图象有三个交点，
设，且，
所以结合图象可得，，
综上，原命题得证。
本题主要考查导数的概念及其几何意义和导数在研究函数中的应用。
（1）根据导数的几何意义求解即可。
（2）根据得到，令，将函数的零点转化为求函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，求出的单调性，然后分类讨论证明即可。
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