2020年高考数学全国卷Ⅲ--理18<-->2020年高考数学全国卷Ⅲ--理20
如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，。
（1）证明：点在平面内。
（2）若，，，求二面角的正弦值。
（1）证明：如图所示，在上取一点，使，连接，，连接。
因为在矩形中，有，
所以且，
四边形为平行四边形，
所以。
又因为，
所以在长方体中，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以、、、四点共面，
故点在平面内。
（2）建立空间直角坐标系如图所示。
则，，，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则有，，
设，
解得，，
即。
则有，
，
即，
因为，
所以二面角的正弦值是。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间向量的应用。
（1）在上取一点，使，连接，，连接。欲证明点在平面内，只需证明平面，即证明即可。
（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标和相关向量的坐标表示，通过平面和的法向量可求得的余弦值，从而可求得的正弦值。
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