2004年
解答题
17、(本题满分12分)
已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i, z2=a-2-i, 其中i为虚数单位,
a∈R, 若<,求a的取值范围.
18、(本题满分12分)
某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为
x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2.
问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分
记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)
的定义域为B.
(1) 求A;
(2) 若BA, 求实数a的取值范围.
20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分
已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数
y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(1) 求函数f(x)的表达式;
(2) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.
21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分
如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上
的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.
(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
(1) 证明:P-ABC为正四面体;
(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的
大小;(结果用反三角函数值表示)
(3) 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是
否存在体积为V且各棱长均相等的直
平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC
有相同的棱长和? 若存在,请具体构造
出这样的一个直平行六面体,并给出证
明;若不存在,请说明理由.
22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分
设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上
的点, 且a1=2, a2=2, …, an=2构成了一个公差为d(d≠0) 的
等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+…+an.
(1) 若C的方程为=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=255, 求点P3的坐标;
(只需写出一个)
(2)若C的方程为(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公
差d变化时, 求Sn的最小值;
. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,
写出符合条件的点P1, P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由.
2005年
解答题
17.已知直四棱柱中,,底面是直角梯形,
,,,,,求异面直线与
所成的角的大小(结果用反三角函数表示)
18.证明:在复数范围内,方程(为虚数单位)无解
19.点A、B分别是椭圆长轴的左、右焦点,点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上,
且位于x轴上方,
(1)求P点的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的
距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房预计
在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外,每年新
建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么,到那一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少
于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,
第3小题满分6分
对定义域是.的函数.,
规定:函数
(1)若函数,,写出函数的解析式;
(2)求问题(1)中函数的值域;
(3)若,其中是常数,且,请设计一个定义域为R的函数
,及一个的值,使得,并予以证明
22.在直角坐标平面中,已知点,,,,其中
n是正整数对平面上任一点,记为关于点的对称点,为关于点的
对称点,为关于点的对称点
(1)求向量的坐标;
(2)当点在曲线C上移动时,点的轨迹是函数的图像,其中是
以3位周期的周期函数,且当时,求以曲线C为图像的函数
在上的解析式;
(3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标
2006
解答题
17.(本题满分12分)
求函数=2+的值域和最小正周期.
18.(本题满分12分)
如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘
渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南
偏西30,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向
沿直线前往B处救援(角度精确到1)?
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60,对角线AC与BD
相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
在平面直角坐标系O中,直线与抛物线=2相交于A、B两点.
(1)求证:“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,
第3小题满分6分)
已知有穷数列共有2项(整数≥2),首项=2.设该数列的前项
和为,且=+2(=1,2,┅,2-1),其中常数>1.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若=2,数列满足=(=1,2,┅,2),
求数列的通项公式;
(3)若(2)中的数列满足不等式
|-|+|-|+┅+|-|+|-|≤4,求的值.
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,
第3小题满分9分)
已知函数=+有如下性质:如果常数>0,那么该函数在
0,上是减函数,在,+∞上是增函数.
(1)如果函数=+(>0)的值域为6,+∞,求的值;
(2)研究函数=+(常数>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
(3)对函数=+和=+(常数>0)作出推广,使它们都是
你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必
证明),并求函数=+(是正整数)在区间[,2]上
的最大值和最小值(可利用你的研究结论).
2007年
解答题
16.(本题满分12分)
如图,在体积为1的直三棱柱中,
.
求直线与平面所成角的大小
(结果用反三角函数值表示).
17.(本题满分14分)
在中,分别是三个内角的对边.若,,
求的面积.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量
达到670兆瓦,年生产量的增长率为34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递
增2%(如,2003年的年生产量的增长率为36%).
(1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦);
(2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年
的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持
在42%,到2010年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产
量的95%),这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精
确到0.1%)?
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
已知函数,常数.
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数在上为增函数,求的取值范围.
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,
第3小题满分9分.
如果有穷数列(为正整数)满足条件,,
…,,即(),我们称其为“对称数列”.例如,
由组合数组成的数列就是“对称数列”.
(1)设是项数为7的“对称数列”,其中是等差数列,且,
.依次写出的每一项;
(2)设是项数为(正整数)的“对称数列”,其中是
首项为,公差为的等差数列.记各项的和为.当为何值时,
取得最大值?并求出的最大值;
(3)对于确定的正整数,写出所有项数不超过的“对称数列”,
使得依次是该数列中连续的项;当时,求其中一个
“对称数列”前项的和.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,
第3小题满分8分.
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”,
其中,,.
如图,点,,是相应椭圆的焦点,,和,分别是“果圆”与,轴的交点.
(1)若是边长为1的等边三角形,求
“果圆”的方程;
(2)当时,求的取值范围;
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”
的弦.试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的值;
若不存在,说明理由.
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