三.解答题
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,
第3小题满分8分.
我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”,
其中,
,
.
如图,点
,
,
是相应椭圆的焦点,
,
和
,
分别是“果圆”与
,
轴的交点.
(1)若是边长为1的等边三角形,求
“果圆”的方程;
(2)当时,求
的取值范围;
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”
的弦.试研究:是否存在实数,使斜率为
的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的值;
若不存在,说明理由.
解:(1)
,
,
于是,所求“果圆”方程为
,
.
(2)由题意,得 ,即
.
,
,得
.
又.
.
(3)设“果圆”的方程为
,
.
记平行弦的斜率为.
当时,直线
与半椭圆
的交点是
,与半椭圆
的交点是
.
的中点
满足
得 .
,
.
综上所述,当时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.
当时,以
为斜率过
的直线
与半椭圆
的交点
是.
由此,在直线右侧,以
为斜率的平行弦的中点轨迹在直线
上,
即不在某一椭圆上.
当时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.
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