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2023年高考数学新高考Ⅰ-5<-->2023年高考数学新高考Ⅰ-7
（5分）过点$(0,-2)$与圆$x^{2}+y^{2}-4x-1=0$相切的两条直线的夹角为$\alpha$，则$\sin \alpha =($ $)$
A．1 B．$\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ C．$\dfrac{\sqrt{10}}{4}$ D．$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
答案：$B$
分析：圆的方程化为$(x-2)^{2}+y^{2}=5$，求出圆心和半径，利用直角三角形求出$\sin \dfrac{\alpha }{2}$，再计算$\cos \dfrac{\alpha }{2}$和$\sin \alpha$的值．
解：
圆$x^{2}+y^{2}-4x-1=0$可化为$(x-2)^{2}+y^{2}=5$，则圆心$C(2,0)$，半径为$r=\sqrt{5}$；
设$P(0,-2)$，切线为$PA$、$PB$，则$PC=\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
$\Delta PAC$中，$\sin \dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$，所以$\cos \dfrac{\alpha }{2}=\sqrt{1-\dfrac{5}{8}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$，
所以$\sin \alpha =2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}=2\times \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$．
故选：$B$．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
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