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2023年高考数学新高考Ⅰ-6<-->2023年高考数学新高考Ⅰ-8
（5分）记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，设甲：$\{a_{n}\}$为等差数列；乙：$\{\dfrac{S_n}{n}\}$为等差数列，则$($ $)$
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：$C$
分析：首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．
解：若$\{a_{n}\}$是等差数列，设数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公差为$d$，
则$S_{n}=na_{1}+\dfrac{n(n-1)}{2}d$，
即$\dfrac{{S}_{n}}{n}=a_{1}+\dfrac{n-1}{2}d=\dfrac{d}{2}n+a_{1}-\dfrac{d}{2}$，
故$\{\dfrac{{S}_{n}}{n}\}$为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若$\{\dfrac{{S}_{n}}{n}\}$为等差数列，则可设$\dfrac{{S}_{n+1}}{n+1}-\dfrac{{S}_{n}}{n}=D$，
则$\dfrac{{S}_{n}}{n}=S_{1}+(n-1)D$，即$S_{n}=nS_{1}+n(n-1)D$，
当$n\geqslant 2$时，有$S_{n-1}=(n-1)S_{1}+(n-1)(n-2)D$，
上两式相减得：$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=S_{1}+2(n-1)D$，
当$n=1$时，上式成立，所以$a_{n}=a_{1}+2(n-1)D$，
则$a_{n+1}-a_{n}=a_{1}+2nD-[a_{1}+2(n-1)D]=2D$（常数），
所以数列$\{a_{n}\}$为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故本题选：$C$．
点评：本题主要考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．
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