2022年北京

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2022年高考数学北京1（4分）已知全集$U=\{x\vert -3 < x < 3\}$，集合$A=\{x\vert -2 < x\leqslant 1\}$，则$\complement _{U}A=($　　)
A．$(-2$，$1]$ B．$(-3,-2)\bigcup{[}1$，$3)$ C．$[-2$，$1)$ D．$(-3$，$-2]\bigcup (1,3)$【答案详解】

2022年高考数学北京2（4分）若复数$z$满足$i\cdot z=3-4i$，则$\vert z\vert =($　　)
A．1 B．5 C．7 D．25【答案详解】

2022年高考数学北京3（4分）若直线$2x+y-1=0$是圆$(x-a)^{2}+y^{2}=1$的一条对称轴，则$a=($　　)
A．$\dfrac{1}{2}$ B．$-\dfrac{1}{2}$ C．1 D．$-1$【答案详解】

2022年高考数学北京4（4分）已知函数$f(x)=\dfrac{1}{1+{2^x}}$，则对任意实数$x$，有(　　)
A．$f(-x)+f(x)=0$ B．$f(-x)-f(x)=0$
C．$f(-x)+f(x)=1$ D．$f(-x)-f(x)=\dfrac{1}{3}$【答案详解】

2022年高考数学北京5（4分）已知函数$f(x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$，则(　　)
A．$f(x)$在$(-\dfrac{\pi }{2}$，$-\dfrac{\pi }{6})$上单调递减
B．$f(x)$在$(-\dfrac{\pi }{4}$，$\dfrac{\pi }{12})$上单调递增
C．$f(x)$在$(0,\dfrac{\pi }{3})$上单调递减
D．$f(x)$在$(\dfrac{\pi }{4}$，$\dfrac{7\pi }{12})$上单调递增【答案详解】

2022年高考数学北京6（4分）设$\{a_{n}\}$是公差不为0的无穷等差数列，则“$\{a_{n}\}$为递增数列”是“存在正整数$N_{0}$，当$n > N_{0}$时，$a_{n} > 0$”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案详解】

2022年高考数学北京7（4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与$T$和$lgP$的关系，其中$T$表示温度，单位是$K$；$P$表示压强，单位是$bar$．下列结论中正确的是(　　)

A．当$T=220$，$P=1026$时，二氧化碳处于液态
B．当$T=270$，$P=128$时，二氧化碳处于气态
C．当$T=300$，$P=9987$时，二氧化碳处于超临界状态
D．当$T=360$，$P=729$时，二氧化碳处于超临界状态【答案详解】

2022年高考数学北京8（4分）若$(2x-1)^{4}=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$，则$a_{0}+a_{2}+a_{4}=($　　)
A．40 B．41 C．$-40$ D．$-41$【答案详解】

2022年高考数学北京9（4分）已知正三棱锥$P-ABC$的六条棱长均为6，$S$是$\Delta ABC$及其内部的点构成的集合．设集合$T=\{Q\in S\vert PQ\leqslant 5\}$，则$T$表示的区域的面积为(　　)
A．$\dfrac{3\pi }{4}$ B．$\pi$ C．$2\pi$ D．$3\pi$【答案详解】

2022年高考数学北京10（4分）在$\Delta ABC$中，$AC=3$，$BC=4$，$\angle C=90^\circ$．$P$为$\Delta ABC$所在平面内的动点，且$PC=1$，则$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$的取值范围是(　　)
A．$[-5$，$3]$ B．$[-3$，$5]$ C．$[-6$，$4]$ D．$[-4$，$6]$【答案详解】

2022年高考数学北京11（5分）函数$f(x)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{1-x}$的定义域是____．
【答案详解】

2022年高考数学北京12（5分）已知双曲线$y^{2}+\dfrac{x^2}{m}=1$的渐近线方程为$y=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}x$，则$m=$____．【答案详解】

2022年高考数学北京13（5分）若函数$f(x)=A\sin x-\sqrt{3}\cos x$的一个零点为$\dfrac{\pi }{3}$，则$A=$____；$f({\dfrac{\pi }{12}})=$____．
【答案详解】

2022年高考数学北京14（5分）设函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-ax+1,x < a,}\\ {{{(x-2)}^2},x\geqslant a\cdot }\end{array}\right.$若$f(x)$存在最小值，则$a$的一个取值为____；$a$的最大值为____．【答案详解】

2022年高考数学北京15（5分）已知数列$\{a_{n}\}$的各项均为正数，其前$n$项和$S_{n}$满足$a_{n}\cdot S_{n}=9(n=1$，2，$\ldots )$．给出下列四个结论：
①$\{a_{n}\}$的第2项小于3；
②$\{a_{n}\}$为等比数列；
③$\{a_{n}\}$为递减数列；
④$\{a_{n}\}$中存在小于$\dfrac{1}{100}$的项．
其中所有正确结论的序号是　①③④　．【答案详解】

2022年高考数学北京16（13分）在$\Delta ABC$中，$\sin 2C=\sqrt{3}\sin C$．
（Ⅰ）求$\angle C$；
（Ⅱ）若$b=6$，且$\Delta ABC$的面积为$6\sqrt{3}$，求$\Delta ABC$的周长．【答案详解】

2022年高考数学北京17（14分）如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，侧面$BCC_{1}B_{1}$为正方形，平面$BCC_{1}B_{1}\bot$平面$ABB_{1}A_{1}$，$AB=BC=2$，$M$，$N$分别为$A_{1}B_{1}$，$AC$的中点．
（Ⅰ）求证：$MN//$平面$BCC_{1}B_{1}$；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线$AB$与平面$BMN$所成角的正弦值．
条件①：$AB\bot MN$；
条件②：$BM=MN$．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案详解】

2022年高考数学北京18（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到$9.50m$以上（含$9.50m)$的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：$m):$
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设$X$是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计$X$的数学期望$EX$；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案详解】

2022年高考数学北京19（15分）已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的一个顶点为$A(0,1)$，焦距为$2\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆$E$的方程；
（Ⅱ）过点$P(-2,1)$作斜率为$k$的直线与椭圆$E$交于不同的两点$B$，$C$，直线$AB$，$AC$分别与$x$轴交于点$M$，$N$．当$\vert MN\vert =2$时，求$k$的值．【答案详解】

2022年高考数学北京20（15分）已知函数$f(x)=e^{x}\ln (1+x)$．
（Ⅰ）求曲线$y=f(x)$在点$(0$，$f(0))$处的切线方程；
（Ⅱ）设$g(x)=f\prime (x)$，讨论函数$g(x)$在$[0$，$+\infty )$上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的$s$，$t\in (0,+\infty )$，有$f(s+t) > f(s)+f(t)$．【答案详解】

2022年高考数学北京21（15分）已知$Q:a_{1}$，$a_{2}$，$\ldots$，$a_{k}$为有穷整数数列．给定正整数$m$，若对任意的$n\in \{1$，2，$\ldots$，$m\}$，在$Q$中存在$a_{i}$，$a_{i+1}$，$a_{i+2}$，$\ldots$，$a_{i+j}(j\geqslant 0)$，使得$a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+\ldots +a_{i+j}=n$，则称$Q$为$m-$连续可表数列．
（Ⅰ）判断$Q:2$，1，4是否为$5-$连续可表数列？是否为$6-$连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若$Q:a_{1}$，$a_{2}$，$\ldots$，$a_{k}$为$8-$连续可表数列，求证：$k$的最小值为4；
（Ⅲ）若$Q:a_{1}$，$a_{2}$，$\ldots$，$a_{k}$为$20-$连续可表数列，且$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k} < 20$，求证：$k\geqslant 7$．【答案详解】

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