2019年高考数学新课标2--理20<-->2019年高考数学新课标2--理22
（12分）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12，记M的轨迹为曲线C。
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G。
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值。
（1）因为动点坐标为，
所以设，，
，
所以，即（），
故曲线是去除点和的椭圆。
（2）（i）由（1）知，：（），
设直线为，由题意得，
联立直线与曲线的方程
联立并消去得，，
又因为点在第一象限，
解得点，点，
又因为轴，垂足为点，
所以点，
则：，
则
联立并消去得，
所以，
所以，，
即为直角三角形。
（ii）由（i）知为直角三角形，且，
所以
令，，，
即当时，最大，
故时，最大，。
本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线。
（1）根据，斜率之积为，列出等式，即可得到曲线。
（2）（i）设出解析式，联立解析式与曲线，得到两点坐标，即可得到点坐标，根据两点坐标得到解析式，联立与曲线，可得点坐标，再根据点坐标，得到斜率。化简可得，得证为直角三角形。
（ii）由（i）知，，所以，，由（i）分别求出，，化简可得关于的函数表达式，考虑的取值范围，即可得出的最大值。
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