2019年高考数学新课标2--理19<-->2019年高考数学新课标2--理21
（12分）已知函数$f(x)=\ln x -\dfrac{x+1}{x-1}$。
（1）讨论$f(x)$的单调性，并证明$f(x)$有且仅有两个零点；
（2）设$x_0$是$f(x)$的一个零点，证明曲线$y=\ln x$在点$A(x_0,\ln x_0)$处的切线也是曲线$y=e^x$的切线。
（1）因为，且，
，
当和，，
所以分别在和上单调递增，
因为，
所以在上存在唯一零点，
即，，
所以，且，
所以在上有唯一零点。
综上，函数在定义域内有且仅有两个零点。
（2）因为为的零点，
故，
已知，则在处，，
所以曲线在点处的切线为：
由化简得切线为，
当曲线切线斜率为时，
即，故，
所以切点为，
则过点曲线的切线为：，化简得，
故和相同，
即曲线在点处的切线也是曲线的切线。
本题主要考查导数的概念及其几何意义和导数在函数中的应用。
（1）对函数解析式求导，判断导函数的正负来判断函数的单调性，由于定义域为，取特殊值，可证在在上函数必存在唯一零点，又，则在上函数也存在唯一零点。由此此题即解出。
（2）求出曲线在的切线表达式，根据两个切线斜率相等的条件进而求出的切线表达式，最后由已知条件化简两个表达式，即证得是同一条切线。
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