2018年高考数学上海18<-->2018年高考数学上海20
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤。分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟）。
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义。
（1）
①当时，自驾群体人均通勤时间为分钟，
公交群体人均通勤时间为分钟，此时公交群体人均通勤时间大于自驾群体人均通勤时间。
②当时：
令，得。
移项后去分母得，
解不等式，解得：或，
所以当时，自驾群体的人均通勤时间大于分钟，
此时公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间。
综上所述，当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间。
（2）当时，
，
当时，
所以，
当时，。
所以当时，；
当时，，
则在上单调递减，
则在上单调递增。
表示当自驾群体的范围在时，上班族的人均通勤时间随自驾群体的增加而减少；当自驾群体占比为时，人均通勤时间为最小值；当自驾群体超过时，上班族的人均通勤时间随自驾群体的增多而增加。
本题主要考查函数的概念与性质以及导数在研究函数中的应用。
（1）要使公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间，当时，由于，则此时公交群体人均通勤时间大于自驾群体人均通勤时间。当时，令，解出的范围即可。
（2）人均通勤时间为自驾群体人均通勤时间公交群体人均通勤时间，再利用导数研究函数的单调性即可。
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