91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2018 > 2018年上海 > 正文 返回 打印

2018年高考数学上海19

  2018-07-26 16:16:25  

(2018上海卷计算题)

某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤。分析显示:当)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为

(单位:分钟)。

而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:

(1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?

(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义。

【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):理数第19题
【答案】

(1)

①当时,自驾群体人均通勤时间为分钟,

公交群体人均通勤时间为分钟,此时公交群体人均通勤时间大于自驾群体人均通勤时间。

②当时:

,得

移项后去分母得

解不等式,解得:

所以当时,自驾群体的人均通勤时间大于分钟,

此时公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间。

综上所述,当时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间。

(2)当时,

时,

所以

所以

时,

所以当时,

时,

上单调递减,

时,

上单调递增。

表示当自驾群体的范围在时,上班族的人均通勤时间随自驾群体的增加而减少;当自驾群体占比为时,人均通勤时间为最小值;当自驾群体超过时,上班族的人均通勤时间随自驾群体的增多而增加。

【解析】

本题主要考查函数的概念与性质以及导数在研究函数中的应用。

(1)要使公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间,当时,由于,则此时公交群体人均通勤时间大于自驾群体人均通勤时间。当时,令,解出的范围即可。

(2)人均通勤时间为自驾群体人均通勤时间公交群体人均通勤时间,再利用导数研究函数的单调性即可。

【考点】
导数在研究函数中的应用


http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2018/2018sh/31652.html