2018年高考数学上海19<-->2018年高考数学上海21
设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：（，）。与轴交于点、与交于点。、分别是曲线与线段上的动点。
（1）用表示点到点的距离；
（2）设，，线段的中点在直线上，求的面积；
（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由。
（1）由抛物线的性质可知，抛物线的准线为，
抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，
由题意知，点的横坐标为，则。
（2）当时，。
由曲线：（，）知：
点的纵坐标为，则。
由于在线段上，则点的纵坐标取值在之间。
由题意，，则的纵坐标为，
故，的中点坐标为。
由于，由题意可知的斜率存在，则可设直线的方程为：，
所以将点的坐标代入方程得，
解得，则直线的方程为。
代入抛物线方程得。
由于、均在直线上，则的边边长为，
边上的高等于，
则。
（3）存在以、为邻边的矩形，使得点在上。
当时，，点的纵坐标为，则。
设，。
①若，则点，而点，则轴。
若以、为邻边的四边形为矩形，则，
则轴，故点。此时点，由于，
则点不在上，此情况不成立。
②当时，直线的斜率可以表示为
由于，则直线的斜率可以表示为。
所以直线的方程为，
当时，，
所以。
而在以、为邻边的四边形中，
、为不相邻的两个顶点，
而，，
故点。
当点在上时，有，
移项后去分母整理得，解得。
而，则，故。
综上所述，存在以、为邻边的矩形，使得点在上，此时点。
本题主要考查圆锥曲线和平面向量的应用。
（1）根据曲线上的点到焦点的距离等于此点到准线的距离，求出。
（2）根据所给出条件可求出，，点的坐标，以为底，到的距离为高，可求的面积。
（3）设点坐标为，分与两种情况讨论。当根据，及点坐标，通过直线斜率的关系可以求出直线的方程，进而求出点坐标。根据，可以求出点坐标，将点坐标代入曲线的方程，可以求出的值，进而求得点坐标。
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