三、命题趋势
    从上表可以看出，近几年本章考查呈现以下特点：
    1、题型和题量：选择题(填空题)+解答题，高考中一般表现为一道选择题或填空题，有时是一道解不等式或有关不等式综合应用的解答题，分值占全卷的10％左右．
    2、知识点考查
    (1)关于不等式性质的考查，主要有：①根据给定的条件利用不等式的性质，判断能否成立的不等式问题，侧重讨论不等式关系；②利用不等式的性质、实数性质及函数性质进行数值大小的比较；③判断不等式中条件与结论的关系，是充分条件或者必要条件还是充要条件．
    (2)考查不等式的证明方法主要有：比较法、综合法、分析法．不等式证明及利用函数的单调性是命题热点．
    (3)解不等式的试题常考查含字母参数的不等式，此时，需要对字母参数进行分类讨论．
    (4)用不等式解决函数的定义域、值域、最值、函数的单调性以及用不等式来讨论方程的根与系数的关系和解决实际问题等．
    3、难度与创新
    本章中不等式的性质、不等式的解法、用不等式求最值等重点内容在高考试题的各类题型中频频出现，难度属中档题或难题，其考查方式融于有关函数、数列及其应用问题中．
    四、复习建议
    根据本章知识的重要性以及高考对本章内容的考查情况。复习时，应注意如下几个方面：
    1、要加强对本章一些常用思想方法的复习．
    (1)等价转化的思想：如在不等式的同解变形过程中等价转化思想起到重要作用．解不等式的过程实质上就是利用不等式的性质进行等价转化的过程．
    (2)分类讨论思想：对含有参数的不等式问题，一般要对参数进行分类讨论，在复习时，应引导学生学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏．
    (3)函数与方程思想：不等式、函数与方程三者密不可分、相互联系、互相转化，如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．
    (4)化归思想：证明不等式就是把已知条件转化为要证的结论，这里体现了化归思想的重要性，其中不仅考查基础知识，而且能考查出考生分析问题和解决问题的能力．
    2、在复习时应强化不等式的应用，提高应用意识．要总结不等式的应用规律，以便提高解决问题的能力．如在实际问题中，主要有构造不等式求解或构造函数求最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件．另外，利用函数`f(x)=x+a/x(a>0)`的单调性解决有关最值问题是最近几年高考中的热点，应加强这方面的训练．
    3、学生应试策略
    (1)重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青睐，值得引起我们的关注．
    (2)突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题．在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系．
    (3)加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高．对不等式的考查更能体现出高起点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点．
    (4)加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键，要特别关注以当前经济、生活、社会为背景，与不等式综合的应用题。
    五、思想与方法综览
    1、分类讨论思想
    [案例]解关于x的不等式`(k(1-x))/(x-2)+1<0(k!=1)`
    解:原不等式化为`(k(1-x)+(x-2))/(x-2)<0 hArr [(1-k)x+(k-2)](x-2)<0`
    (1)当`1-k>0`，即`k<1`时，上式`hArr (x-(2-k)/(1-k))(x-2)<0`
    `.:(2-k)/(1-k)-2=k/(1-k)`
    ①当`k<0`时，不等式解为`(2-k)/(1-k)<x<2`；
    ②当`k=0`时，无解；
    ③当`0<k<1`时，不等式解为`2<x<(2-k)/(1-k)`
    (2)当`1-k<0`，即`k>1`时，
    上式`hArr (x-(2-k)/(1-k))(x-2)>0`
    由`2-(2-k)/(1-k)=k/(k-1)>0`
    故当`k>1`时，不等式解为`x<(2-k)/(1-k)`，或`x>2`
    综上所述，当`k<0`时，解集为`{x|(2-k)/(1-k)<x<2}`
    当`k=0`时，解集为`O/`
    当`0<k<1`时，解集为`{x|2<x<(2-k)/(1-k)}`
    当`k>1`时，解集为`{x|x<(2-k)/(1-k)`或`x>2}`
    2、换元思想
    [案例]解不等式`sqrt(2x+5)>x+1`
    分析:若根号内为x的一次式，则这类不等式最好的解法是设带根号项为t，将原不等式转化为我们熟识的一元二次不等式。
    解:令`sqrt(2x+5)=t(t>=0)`，则`x=(t^2-5)/2`
    代入原不等式可得`(t+1)(t-3)<0
    `.:t>=0`，
    `:.0<=t<3`，即`sqrt(2x+5)<3`
    `:.{(2x+5>=0),(2x+5<9):}`
    `:.-5/2<=x<2`
    故原不等式的解集为`{x|-5/2<=x<2}`

    点评:对于含根式的不等式，我们称其为无理不等式，可通过等价转化为有理不等式求解，这种等价转化的思想也是数学上一重要思想。
    3、函数的思想
    [案例]已知`f(x)=lg(1+2^x+…+(n-1)^x+n^xa)/n`其中`a in RR，n in NN^*`。当`n>=2`时，`f(x)`在`(-oo，1)`上有意义，求a的取值范围。
    分析:当`x<=1`时，`f(x)`有意义，即其真数`1+2^x+…+(n-1)^x+n^xa>0`，在`x<=1`上恒成立，求`a`的范围，可先将`a`分离出来。
    解:由题意知在`n>=2`且`x in (-oo，1)`时`1+2^x+…+(n-1)^x+n^xa>0`恒成立。
    `.:a>-[(1/n)^x+(2/n)^x+…+((n-1)/n)^x]`
    设`g(x)=-[(1/n)^x+(2/n)^x+…+((n-1)/n)^x]`
    `.:(k/n)^x(k=1，2，…，n-1)`在`(-oo，1)`上都是减函数，
    `:.g(x)`在`(-oo，1)`上是减函数，
    `:.g(x)`在`(-oo，1)`上的最大值为`g(1)=-(1/n+2/n+…+(n-1)/n)=-(n-1)/n`
    故a的取值范围`(-(n-1)/n，+oo)`

    点评:本例利用函数思想，将不等式问题与函数单调性结合在一起，在涉及函数与最值问题时，利用单调性求解，是常见方法。
    4、数形结合思想
    [案例]求证：`sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2)>=sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)(a与c，b与d不同时相等)`
    分析：考察不等号两边特点，其形式同平面上任意两点间的距离公式。
    解:方法一：在直角坐标系中，设`A(a，b)，B(c，d)，O(0，0)`
    `|AB|=sqrt((a-c)^2+(b-d)^2) |AO|=sqrt(a^2+b^2) |BO|=sqrt(c^2+d^2)`
    当`A、B、O`三点不共线时，`|AB|<|AO|+|BO|`即`sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2)>sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)`
    当`A、B、O`三点共线，且`A、B`在`O`点同侧时，`|AB|<|AO|+|BO|`即`sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2)>``sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)`
    当`A、B、O`三点共线时，且`A、B`在`O`点异侧时，或`A、B`之一与原点`O`重合时，
    `|AB|=|AO|+|BO|`即`sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2)=``sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)`
    综上，`sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2)>=sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)`
    方法二：设`z_1=a+bi；z_2=c+di(a、b、c、d in RR)`
    那么`z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i`
    由于`|z_1-z_2|<=|z_1|+|z_2|`，而`|z_1|=sqrt(a^2+b^2)`，`|z_2|=sqrt(c^2+d^2)`，`|z_1-z_2|=sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)`
    `:.`有`sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2)>=sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)`等式成立
    本题亦可利用直角坐标系法解决
   设在直角坐标系中，`P(a，b)，Q(c，d)`，原点为`O`，则`|OP|=sqrt(a^2+b^2)`，`|OQ|=sqrt(c^2+d^2)`，`|PQ|=sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)`
    利用三角形性质可得`|OP|+|OQ|>=|PQ|`而`sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2)>=sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)`
    若把`Q`点坐标变为`(-c，-d)`则可得到`|PQ|=sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)`，仍然有`sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2)>=sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)`
    综上知：`sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2)>=sqrt((a+-c)^2+(b+-d)^2)`

    点评:本例在用几何法解决时，注意三点`A、B、O`在直角坐标系下的相对位置关系，把各种可能的情况一一列举出来，最后下结论，此题还可用分析法证之。
    5、转化化归思想
    [案例]已知不等式`-9<(3x^2+px+6)/(x^2-x+1)<=6`对任意实数`x`恒成立，试求实数`p`的值。
    解:因为`x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4>0`所以，原不等式等价于`{(12x^2+(p-9)x+15>0，①),(3x^2-(p+6)x>=0，②):}`恒成立。
    由①恒成立，有`Delta_1=(p-9)^2-4 xx 12 xx15<0`，解得`-12sqrt(5)+9<p<12sqrt(5)+9`
    由②恒成立，有`Delta_2=(p+6)^2<=0`，解得`p=-6`
    综上可知，`p=-6`时，原不等式对任意实数`x`恒成立。

    点评:(1)处理分式不等式有关问题时，一定要注意其恒等变形；(2)有关二次函数中恒大于(小于)零的问题，可结合二次函数的图象去分析，一般可用`Delta`来解决。

       
    二、知识梳理
    (一)两个实数比较大小
    如果a，b∈R，那么a>b `hArr`a-b>0；a=b `hArr`a-b=0；a<b `hArr` a-b<0．
    (二)不等式的性质
    (1)`a>b hArr b<a`；
    (2)`a>b，b>c rArr a>c`；
    (3)`a>b rArr a+c>b+c`；
    (4)`a>b，c>d rArr a+c>b+d`；
    (5)`a>b，c>0 rArr ac>bc；a>b，c<0 hArr ac<bc`；
    (6)`a>b>0，c>d>0 rArr ac>bd`；
    (7)`a>b>0 rArr a^n>b^n(n∈N`，且`n>1`)；
    (8)`a>b>0 rArr root(n)(a)>root(n)(b)(n∈N，且n>1)`
    (三)算术平均数与几何平均数
    如果`a，b`是正数，那么`(a+b)/2`称为`a，b`的算术平均数，`sqrt(ab)`称为`a，b`的几何平均数．
    如果`a，b`是正数，那么`(a+b)/2≥sqrt(ab)`(当且仅当`a=b`时取"="号)．
    (四)不等式的证明
    1、证明不等式的主要依据：
    (1)实数大小的比较；
    (2)不等式的性质；
    (3)几个重要不等式：
    ①`a^2≥0(a∈R)`；
    ②`a^2+b^2≥2ab(a，b∈R)`；
    ③`(a+b)/2≥sqrt(ab)(a>0，b>0)`．
    2、证明不等式的常用方法：
    (1)比较法(求差比较法与正数求商比较法)；(2)综合法；(3)分析法；(4)放缩法；(5)反证法；(6)换元法；(7)应用函数单调性法；(8)一元二次方程根的判别式法．
    (五)不等式的解法
    1、`ax>b`的解集．
    当`a>0`时，解集是`{x|x>b/a}`；
    当`a<0`时，解集是`{x|x<b/a}`；
    当`a=0，b≥0`时，解集是`O/`；
    当`a=0，b<0`时，解集是`R`．
    2、一元二次不等式的解集．
    (1)`ax^2+bx+c>0(a>0)`的解集：
    当`b^2-4ac>0`时，解集是`{x|x<(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)`或`x>(-b＋sqrt(b^2-4ac))/(2a)}`；
    当`b^2-4ac=0`时，解集是`{x|x∈R，且x≠-b/(2a)}`
    当`b^2-4ac<0`时，解集是`RR`．
    (2)`ax^2+bx+c<0(a>0)`的解集：
    当`b^2-4ac>0`时， 解集是`{x|(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)<x<(-b＋sqrt(b^2-4ac))/(2a)}`；
    当`b^2-4ac`≤0时，解集是`O/`．
    3、简单的一元高次不等式的解法．
    通过因式分解手段，采用“列表法”或“数轴标根法”．
    4、分式不等式的解法．
    `(f(x))/(g(x))>0 hArr f(x)g(x)>0 hArr {(f(x)>0),(g(x)>0):}`或`{(f(x)<0),(g(x)<0):}`
    `(f(x))/(g(x))<0 hArr f(x)g(x)<0 hArr {(f(x)>0),(g(x)<0):}`或`{(f(x)<0),(g(x)>0):}`
    5、绝对值不等式的解法．
    (1)`|x|>a(x∈R，a`为常数，且`a∈R)`的解集：
    当`a>0`时，解集是`{x|x<-a，或x>a}`；当`a=0`时，解集是`{x|x∈R，且x≠0}`
    当`a<0`时，解集是`R`．
    (2)`|x|<a(x∈R，a`为常数，且`a∈R)`的解集：
    当`a>0`时，解集是`{x|-a<x<a}`；当`a≤0`时，解集是`O/`．
    (3)`|f(x)|<g(x) hArr -g(x)<f(x)<g(x)；|f(x)|<g(x) hArr {(f(x)>=0),(f(x)<g(x)):}或{(f(x)<0),(-f(x)<g(x)):}`
    (4)`|f(x)|>g(x) hArr f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；|f(x)|>g(x) hArr {(f(x)>=0),(f(x)>g(x)):}或{(f(x)<0),(-f(x)>g(x)):}`；
    (5)`|f(x)|<|g(x)| hArr [f(x)]^2<[g(x)]^2`；
    (6)含有多个绝对值符号的不等式，常用“零点分区法”转化为几个不等式组求解．
    (六)含有绝对值符号的等式或不等式
    (1)如果`a>0，x∈R`，那么
     `|x|<a hArr x^2<a^2 hArr -a<x<a`，
     `|x|>a hArr x^2>a^2 hArr x<-a或x>a`．
    (2)`|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|`．
    (3)`|ab|=|a||b|`，`|a/b|=(|a|)/(|b|)(b≠0)`．

    §6.2 不等式的证明 (1)

    §6.3 不等式的解法 (1)

    §6.4 不等式的运用 (1)

    2、第一轮基础训练 (1)

    3、第一轮单元训练 (1)