难点:不等式的性质及其应用

    三、特别提示
   (1)在两个不等式中，如果每一个的左边都大于(或小于)右边，这两个不等式就是同向不等式．例如${\displaystyle a^2+2>a+1}$，${\displaystyle 3a^2+5>2a}$是同向不等式；如果一个不等式的左边大于(或小于)右边，而另一个不等式的左边小于(或大于)右边，这两个不等式就是异向不等式．例如是异向不等式．
　　(2)两个同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需要求差或商时，可利用不等式的性质转化为同向不等式相加或相乘．
　(3)要注意不等式性质成立的条件，如不能弱化条件写成，又如${\displaystyle “\{\begin{array}{l}a>b>0\\ c>d>0\end{array}\Rightarrow ac>bd”}$不能写成${\displaystyle “\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\Rightarrow ac>bd”}$．
　　(4)注意不等式性质的单向性或双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性．只有，${\displaystyle a>b\Rightarrow a+c>b+c}$，${\displaystyle a>b\Rightarrow ac>bc(c>0)}$等是可以逆推的，而其余几条性质不可逆推，在应用性质时要准确把握条件是结论的充分条件还是必要条件．
　　(5)${\displaystyle “a>b>0\Rightarrow a^n>b^n>0(n\in \mathbb{N}，n>1)”}$成立的条件是“n为大于1的自然数，${\displaystyle a>b>0}$”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取${\displaystyle n=-1，a=3，b=2}$，那么就会出现${\displaystyle “3^{-1}>2^{-1}}$，即${\displaystyle \frac{1}{3}>\frac{1}{2}}$”的错误结论；假如去掉${\displaystyle “b>0”}$这个条件．取${\displaystyle a=3，b=-4，n=2}$，那么就会出现“${\displaystyle 3^2>{(-4)}^2}$”的错误结论．
    (6)以后经常用到“不等式取倒数”的性质：，应在会证明的基础上理解记忆．

    应用举例
    一、应用特点
    1、用不等式的概念和性质解题
    2、比较两代数式的大小
    3、利用不等式的性质求函数值的范围

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、 设${\displaystyle a、b、c}$是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是(   )
　　A．          B．${\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}\ge a+\frac{1}{a}}$
　　C．${\displaystyle |a-b|+\frac{1}{a-b}\ge 2}$ 　　　　　  D．

提示	示范
本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出正确的结论
解:C选项${\displaystyle |a-b|+\frac{1}{a-b}\ge 2}$，当时不成立． 　　答案：C     评注:运用公式一定要注意公式成立的条件：如果${\displaystyle a，b\in ℝ}$那么${\displaystyle a^2+b^2\ge 2ab}$(当且仅当${\displaystyle a=b}$时${\displaystyle “=”}$号)如果${\displaystyle a，b}$是正数，那么${\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}}$ (当且仅当${\displaystyle a=b}$时取${\displaystyle “=”}$号)

提示	示范
比较两数的大小关系，有作差和作商两种办法 ．本题可通过作差来比较．
解:${\displaystyle {log}_a\left(\frac{t+1}{2}\right)-\frac{1}{2}{log}_a\left(t\right)={log}_a\left(\frac{t+1}{2}\right)-{log}_a\left(\sqrt{t}\right)={log}_a\left(\frac{t+1}{2\sqrt{t}}\right)}$ 　　${\displaystyle \because t>0，t+1\ge 2\sqrt{t}}$，(当且仅当${\displaystyle t=1}$时等号成立) 　　${\displaystyle \therefore \frac{t+1}{2}\sqrt{t}\ge 1}$，当${\displaystyle t=1}$时，${\displaystyle {log}_a\left(\frac{t+1}{2}\right)=\frac{1}{2}{log}_a\left(t\right)}$ 　　当${\displaystyle t\ne 1}$时，${\displaystyle \frac{t+1}{2}\sqrt{t}>1}$．若${\displaystyle a>1}$时，${\displaystyle {log}_a\left(\frac{t+1}{2}\right)>\frac{1}{2}{log}_a\left(t\right)}$；若时，．     评注:要注意对字母参数进行分类讨论

提示	示范
${\displaystyle \because f\left(1\right)=a-c，f\left(2\right)=4a-c}$，${\displaystyle \therefore a、c}$不是相互独立的，因此应将${\displaystyle f\left(3\right)}$用${\displaystyle f\left(1\right)}$和${\displaystyle f\left(2\right)}$表示出来，才能求出${\displaystyle f\left(3\right)}$的正确范围
解:由${\displaystyle \{\begin{array}{l}a-c=f\left(1\right)\\ 4a-c=f\left(2\right)\end{array}}$，解得${\displaystyle \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}[f\left(2\right)-f\left(1\right)]\\ c=\frac{1}{3}f\left(2\right)-\frac{4}{3}f\left(1\right)\end{array}\therefore f\left(3\right)=9a-c=\frac{8}{3}f\left(2\right)-\frac{5}{3}f\left(1\right)}$ 　　 　　又 　　由①+②得，即     评注:(1)解这类题常见的错误解法为： 　　由 　(2)这类问题正确的解法是待定系数法，即设${\displaystyle f\left(3\right)=9a-c=mf\left(1\right)+nf\left(2\right)}$．由${\displaystyle f\left(1\right)=a-c，f\left(2\right)=4a-c}$，求出${\displaystyle m、n}$的值，解出${\displaystyle f\left(3\right)=-\frac{5}{3}f\left(1\right)+\frac{8}{3}f\left(2\right)}$，再利用不等式的性质解答，或根据不等式表示区域图来解(较繁)．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高.)

    1、若${\displaystyle a、b、x、y\in ℝ}$，则${\displaystyle \{\begin{array}{l}x+y>a+b\\ (x-a)(y-b)>0\end{array}}$是${\displaystyle \{\begin{array}{l}x>a\\ y>b\end{array}}$成立的(   )
　　A．充分而不必要条件           B．必要而不充分条件
　　C．充要条件　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

提示	示范
(提示内容)
解:(1)若${\displaystyle \{\begin{array}{l}x+y>a+b①\\ (x-a)(y-b)>0②\end{array}}$ 　　由式②知${\displaystyle x-a}$与${\displaystyle y-b}$同号；又由式①，得${\displaystyle (x-a)+(y-b)>0}$ 　　${\displaystyle \therefore x-a>0，y-b>0}$，即${\displaystyle x>a}$且${\displaystyle y>b}$ 　　故充分性成立． 　　(2)若${\displaystyle \{\begin{array}{l}x>a\\ y>b\end{array}，则\{\begin{array}{l}x-a>0\\ y-b>0\end{array}}$ 　　${\displaystyle \therefore \{\begin{array}{l}x+y>a+b\\ (x-a)(y-b)>0\end{array}}$ 　　故必要性亦成立．综上(1)(2)，知应选C． 　　答案：C     评注:在判断命题的充要关系时，若由条件出发，每步推理都应用的是充要条件，最后得到的结论与条件是互为充要条件的．

    2、.实数${\displaystyle x、y、z}$满足${\displaystyle x+y+z=0，xyz>0}$，若${\displaystyle T=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$，则(   )
　　A．${\displaystyle T>0}$       B．       C．${\displaystyle T=0}$       D．${\displaystyle T\ge 1}$

提示	示范
(提示内容)
解:方法一：取${\displaystyle x=1，y=z=-\frac{1}{2}}$，满足${\displaystyle x+y+z=0}$，及${\displaystyle xyz=\frac{1}{4}>0}$，而 　　方法二：${\displaystyle \because x+y+z=0}$且${\displaystyle xyz>0}$，不妨设，则${\displaystyle T=\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{y(x+z)+xz}{xyz}=\frac{-y^2+xz}{xyz}(\because x+z=-y)}$， 　　当时， 　　又，     　　又${\displaystyle xyz>0}$ 故 　　答案:B     评注:高考对不等式的性质的考查注重基础性、全面性，题型灵活多变，与函数的性质联系更加密切，有些不等式性质与函数的单调性是相联系的．

    学习感悟
    1、对不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方向．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础，因为解不等式要求的是同解变形．
　　2、不等式的运算性质与等式的运算性质虽有某些类似，但它们之间有着本质上的差异，不能把等式的运算性质照搬到不等式之中，因此，分清不等式与等式的运算性质之间的差异是正确运用性质解题的关键．
　　3、要注意：${\displaystyle a>b\iff a^n>b^n(n}$为正奇数${\displaystyle )}$，${\displaystyle \left|a\right|>\left|b\right|\iff a^n>b^n(n}$为正偶数${\displaystyle )}$．
　　4、有关判断性命题，主要依据不等式的概念和性质．一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题为假命题．或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果．