难点:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其灵活应用.

    三、特别提示
    (1)在利用基本不等式求最值时，一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件，即每个项都是正值，和或积是定值，所有的项能同时相等；而“二定”这个条件是对不等式进行巧妙分拆、组合、添加系数等使之能变成可用基本不等式的形式的关键．倘若要多次用基本不等式求最值，必须保持每次取“=”的一致性．
　　(2)“和定积最大，积定和最小”，应用此结论求最值要注意三个条件：
    ①各项或各因式非负；
    ②和或积为定值；
    ③各项或各因式都能取得相等的值．
    必要时要作适当的变形，以满足上述前提．
　　(3)不等式的解法及证法的基本应用：
    ①求函数的定义域、值域和最大值、最小值问题；
    ②判断函数的单调性及其相应的单调区间；
    ③利用不等式讨论方程的实根个数、分布范围和解含参数的方程；
    ④将不等式同数学其他分支结合起来，解决一些有实际应用价值的综合题．
    (4)不等式的应用广泛且灵活，在具体问题的处理中，一要认真审清题意，二要灵活应用不等式的有关知识．

       
    3、运用均值不等式求最值，常见的有两类：
    (1)已知某些变量(正数)的积为定值，求和的最小值．
    公式：${\displaystyle a+b\ge 2\sqrt{ab}(a>0，b>0)}$，公式中条件是______
    (2)已知某些变量(正数)的和为定值，求积的最大值．
    公式：，上述公式中条件是______
    4、关于基本不等式的几个常见结论：
    (1)基本不等式的几个变形公式：
    ${\displaystyle \frac{1}{a}+a\ge 2(a>0)}$，
    ${\displaystyle 2(a_1^2+a_2^2)\ge {(a_1+a_2)}^2(a_1，a_2\in ℝ)}$，
    ，
    ${\displaystyle a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac}$．
    (2)函数${\displaystyle y=\frac{a}{x}+bx(a>0，b>0)}$在${\displaystyle (-\infty ，-\sqrt{\frac{a}{b}})}$和${\displaystyle (\sqrt{\frac{a}{b}}，+\infty )}$上为增函数；
    在${\displaystyle [-\sqrt{\frac{a}{b}}，0)}$和${\displaystyle (0，\sqrt{\frac{a}{b}}]}$上为减函数．
    (3)函数${\displaystyle y=\frac{a}{x}+bx(a>0，b>0)}$在${\displaystyle x\in (0，c]}$上的最小值：
    ①若${\displaystyle c\ge \sqrt{\frac{a}{b}}}$，则${\displaystyle x=\sqrt{\frac{a}{b}}}$时${\displaystyle y}$有最小值${\displaystyle 2\sqrt{ab}}$
    ②若，则${\displaystyle x=c}$时${\displaystyle y}$有最小值${\displaystyle \frac{a}{c}+bc}$

    应用举例
    一、应用特点
    1、比较两代数式的大小
    2、运用均值定理求最值
    3、不等式的实际应用

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、设${\displaystyle a>0，a\ne 1，t>0}$，试比较${\displaystyle \frac{1}{2}{log}_{a}t}$与${\displaystyle {log}_a\frac{t+1}{2}}$的大小，并证明你的结论

提示	示范
比较两数的大小关系，有作差和作商两种办法 ．本题可通过作差来比较．
解:${\displaystyle {log}_a\left(\frac{t+1}{2}\right)-\frac{1}{2}{log}_a\left(t\right)={log}_a\left(\frac{t+1}{2}\right)-{log}_a\left(\sqrt{t}\right)={log}_a\left(\frac{t+1}{2\sqrt{t}}\right)}$     ${\displaystyle \because t>0，t+1\ge 2\sqrt{t}}$，(当且仅当${\displaystyle t=1}$时等号成立)     ${\displaystyle \therefore \frac{t+1}{2}\sqrt{t}\ge 1}$，当${\displaystyle t=1}$时，${\displaystyle {log}_a\left(\frac{t+1}{2}\right)=\frac{1}{2}{log}_{a}t}$     当${\displaystyle t\ne 1}$时，${\displaystyle \frac{t+1}{2}\sqrt{t}>1}$．     若${\displaystyle a>1}$时，${\displaystyle {log}_a\left(\frac{t+1}{2}\right)>\frac{1}{2}{log}_{a}t}$；     若时，．     评注:要注意对字母参数进行分类讨论 ．

提示	示范
可将x用y来表示，进而用均值不等式进行求解．
解:由${\displaystyle 2x+8y-xy=0}$，得${\displaystyle x=8\frac{y}{y-2}(y>2)}$；或${\displaystyle \frac{8}{x}+\frac{2}{y}=1}$     消去${\displaystyle x}$后，用基本不等式，由已知，得${\displaystyle x=8\frac{y}{y-2}}$，     ${\displaystyle \because x>0}$     ${\displaystyle \because y>2}$     ${\displaystyle T=x+y=y-2+\frac{16}{y-2}+10\ge 2\sqrt{(x-2)•\frac{16}{y-2}}+10=18}$     当且仅当${\displaystyle (y-2)=\frac{16}{y-2}，y=6，x=12}$时，${\displaystyle {(x+y)}_{min}=18}$     评注:本题解法较多，还可用三角代换，消元后用判别式法，也可灵活应用“1”的代换等．

    3、 对1个单位质量的含污物体进行清洁，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：${\displaystyle 1-\frac{污物质量}{物体质量(含污物)}}$为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是${\displaystyle \frac{x+0.8}{x+1}(x>a-1)}$，用${\displaystyle y}$单位质量的水第二次清洗后的清洁度是${\displaystyle \frac{y+ac}{y+a}}$，其中是该物体初次清洗后的清洁度．
    (1)分别求出方案甲以及${\displaystyle c=0.95}$时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
   (2)若采用方案乙，当${\displaystyle a}$为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论${\displaystyle a}$取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

提示	示范
(提示内容)
解:(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为${\displaystyle x}$与${\displaystyle z}$，则由题设有${\displaystyle \frac{x+0.8}{x+1}=0.99}$，解得${\displaystyle x=19}$．由${\displaystyle c=0.95}$得方案乙初次用水量为3，第二次用水量${\displaystyle y}$满足方程${\displaystyle \frac{y+0.95a}{y+a}=0.99}$，解得${\displaystyle y=4a}$，故${\displaystyle z=4a+3}$，即两种方案的用水量分别为${\displaystyle 19}$与${\displaystyle 4a+3}$     因为当时，${\displaystyle x-z=4(4-a)>0}$，即${\displaystyle x>z}$，故方案乙的用水量较少．     (2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似(1)得     ${\displaystyle x=\frac{5a-4}{5(1-c)}，y=a(99-100c)}$ (*)     于是${\displaystyle x+y=\frac{5a-4}{5(1-c)}+a(99-100c)=\frac{1}{5(1-c)}+100a(1-c)-a-1}$     当${\displaystyle a}$为定值时，${\displaystyle x+y\ge 2\sqrt{\frac{1}{5(1-c)}\times 100a(1-c)}-a-1=-a+4\sqrt{5a}-1}$     当且仅当${\displaystyle \frac{1}{5}(1-c)=100a(1-c)}$时等号成立．     此时${\displaystyle c=1+\frac{1}{10\sqrt{5}a}}$(不合题意，舍去)     或${\displaystyle c=1-\frac{1}{10\sqrt{5}a}\in (0.8，0.99)}$     将${\displaystyle c=1-\frac{1}{10\sqrt{5a}}}$代入(*)式得${\displaystyle x=2\sqrt{5a}-1>a-1，y=2\sqrt{5a}-a}$     故${\displaystyle c=1-\frac{1}{10\sqrt{5a}}}$时总用水量最少．     此时第一次与第二次用水量分别为${\displaystyle 2\sqrt{5a}-1}$与${\displaystyle 2\sqrt{5a}-a}$，最小总用水量是${\displaystyle T\left(a\right)=-a+4\sqrt{5a}-1}$     当时，${\displaystyle T\left(a\right)=2\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}}-1>0}$，故${\displaystyle T\left(a\right)}$是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)．     这说明：随着${\displaystyle a}$的值的增加，最小总用水量增加．     评注:(内容)

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高.)

    1、(1)已知，求函数${\displaystyle y=4x-2+\frac{1}{4x-5}}$的最大值；
　　(2)已知${\displaystyle x>0，y>0}$且${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1}$，求${\displaystyle x+y}$的最小值；
　　(3)已知${\displaystyle a、b}$为常数，求函数${\displaystyle y={(x-a)}^2+{(x-b)}^2}$的最小值．

提示	示范
(提示内容)
解:(1)     ${\displaystyle \therefore 5-4x>0}$         ${\displaystyle \therefore }$当且仅当${\displaystyle 5-4x=\frac{1}{5-4x}}$，即${\displaystyle x=1}$时，上式等号成立．     ${\displaystyle \therefore }$当${\displaystyle x=1}$时，${\displaystyle y_{max}=1}$. 　(2)本题的难点在于如何使用条件${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1}$．如果从中解出${\displaystyle x}$或${\displaystyle y}$，再代入${\displaystyle x+y}$转化为一元函数的最值问题，显然比较复杂，这时应设整体使用条件．     ${\displaystyle \because x>0，y>0，\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1}$     ${\displaystyle \therefore x+y=(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})(x+y)=\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}+10\ge 6+10=16}$     当且仅当${\displaystyle \frac{y}{x}=\frac{9x}{y}}$，又${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1}$     即${\displaystyle x=4，y=12}$时，上式等号成立．     故当${\displaystyle x=4，y=12}$时，${\displaystyle {(x+y)}_{min}=16}$ 　(3)从函数解析式的特点来看，本题可化为关于${\displaystyle x}$的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者去完成)，但要注意到${\displaystyle (x-a)+(b-x)}$为定值，则用变形不等式${\displaystyle a^2+b^2\ge \frac{{(a+b)}^2}{2}}$     ${\displaystyle \because y={(x-a)}^2+{(x-b)}^2={(x-a)}^2+{(b-x)}^2\ge \frac{{(x-a)}^2+{(b-x)}^2}{2}=\frac{{(a-b)}^2}{2}}$     当且仅当${\displaystyle x-a=b-x}$即${\displaystyle x=\frac{a+b}{2}}$时，上式等号成立．     ${\displaystyle \therefore }$当${\displaystyle x=\frac{a+b}{2}}$时，${\displaystyle y_{min}=\frac{{(a-b)}^2}{2}}$     评注:(1)用基本不等式求函数的最大值或最小值时，一定要注意一正二定三相等这三个必要条件，而要获得“定值”，需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可能性，也是解题的关键．     (2)创设应用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立

    2、已知${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\right|=2，\left|\overrightarrow{b}\right|=3，\overrightarrow{a}}$与${\displaystyle \overrightarrow{b}}$的夹角为${\displaystyle {60}^{°}}$，求使向量${\displaystyle \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}}$与${\displaystyle \lambda \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$的夹角为锐角的实数${\displaystyle \lambda }$的取值范围．

提示	示范
(提示内容)
解:由题意有${\displaystyle (\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b})·(\lambda \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})>0}$     即${\displaystyle \lambda \overrightarrow{a^2}+({\lambda }^2+1)\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\lambda {\overrightarrow{b}}^2>0，\left|\overrightarrow{a^2}\right|=4，\left|\overrightarrow{b^2}\right|=9}$，又${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|cos\theta =2\times 3\times cos60°=3}$     ${\displaystyle \therefore 3{\lambda }^2+13\lambda +3>0}$     解得或${\displaystyle \lambda >\frac{-13+\sqrt{133}}{6}}$     又${\displaystyle \because }$当${\displaystyle \lambda =1}$时，${\displaystyle \overrightarrow{a}+\lambda \left(\overrightarrow{b}\right)=\lambda \left(\overrightarrow{a}\right)+\overrightarrow{b}}$，不合题意．     综上，知所求${\displaystyle \lambda }$的取值范围为或${\displaystyle \lambda >\frac{-13+\sqrt{133}}{6}}$且${\displaystyle \lambda \ne 1}$     评注:平面向量是新教材新增的活力较强的内容之一，预测在今后的高考中平面向量与函数、不等式等的综合必将成为新的热点问题．

    学习感悟
    用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值；不管哪种题，哪种方法在用基本不等式求最值时都必须要验证等号的成立条件．