第六章  不等式
 §6.4 不等式的应用

复习目标 知识梳理 应用举例 实践体验 拓展探究 基础训练 提高训练 学习感悟
    一、复习目标
    掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单应用;能利用不等式解决实际问题.
    二、重点难点
    重点:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其简单应用.

    难点:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其灵活应用.

    三、特别提示
    (1)在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等;而“二定”这个条件是对不等式进行巧妙分拆、组合、添加系数等使之能变成可用基本不等式的形式的关键.倘若要多次用基本不等式求最值,必须保持每次取“=”的一致性.
  (2)“和定积最大,积定和最小”,应用此结论求最值要注意三个条件:
    ①各项或各因式非负;
    ②和或积为定值;
    ③各项或各因式都能取得相等的值.
    必要时要作适当的变形,以满足上述前提.
  (3)不等式的解法及证法的基本应用:
    ①求函数的定义域、值域和最大值、最小值问题;
    ②判断函数的单调性及其相应的单调区间;
    ③利用不等式讨论方程的实根个数、分布范围和解含参数的方程;
    ④将不等式同数学其他分支结合起来,解决一些有实际应用价值的综合题.
    (4)不等式的应用广泛且灵活,在具体问题的处理中,一要认真审清题意,二要灵活应用不等式的有关知识.

    知识梳理
    1、不等式理论的应用主要体现在如下几个方面:
    (1)运用不等式研究函数问题(单调性、最值等);
    (2)运用不等式研究方程解的问题;
    (3)利用函数性质及方程理论研究不等式问题.诸如方程的根的分布问题,解集之间的包含关系,函数 的定义域及值域,最值问题,解析几何中有关范围问题等,都与解不等式的知识相关联.
    2、不等式在实际中的应用是指用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.在解题中要注意:首先要过“阅读理解”关,阅读关是指读懂题目,能够概括出问题涉及到哪些内容;其次,过理解关,理解关是 指准确理解和把握这些量之间的关系,然后建立数学模型,再讨论不等关系,最后得出问题结论.具体解题流程如下:

       
    3、运用均值不等式求最值,常见的有两类:
    (1)已知某些变量(正数)的积为定值,求和的最小值.
    公式:`a+b>=2sqrt(ab)(a>0,b>0)`,公式中条件是______
    (2)已知某些变量(正数)的和为定值,求积的最大值.
    公式:`ab<=((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2`,上述公式中条件是______
    4、关于基本不等式的几个常见结论:
    (1)基本不等式的几个变形公式:
    `1/a+a>=2(a>0)`,
    `2(a_1^2+a_2^2)>=(a_1+a_2)^2(a_1,a_2 in RR)`,
    `1/(1/a+1/b)<=sqrt(ab)<=(a+b)/2<=sqrt((a^2+b^2)/2)(a>0,b>0)`,
    `a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac`.
    (2)函数`y=a/x+bx(a>0,b>0)`在`(-oo,-sqrt(a/b))`和`(sqrt(a/b),+oo)`上为增函数;
    在`[-sqrt(a/b),0)`和`(0,sqrt(a/b)]`上为减函数.
    (3)函数`y=a/x+bx(a>0,b>0)`在`x in (0,c]`上的最小值:
    ①若`c>=sqrt(a/b)`,则`x=sqrt(a/b)`时`y`有最小值`2sqrt(ab)`
    ②若`c<sqrt(a/b)`,则`x=c`时`y`有最小值`a/c+bc`

    应用举例
    一、应用特点
    1、比较两代数式的大小
    2、运用均值定理求最值
    3、不等式的实际应用

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法,寻找解题办法,若有困难,可以参考“提示”,还有困难,可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、设`a>0,a!=1,t>0`,试比较`1/2log_a t`与`log_a (t+1)/2`的大小,并证明你的结论

    提示 示范  

    2、已知`x、y in RR^+`,且`2x+8y-xy=0`求`x+y`的最小值.
    提示 示范  

    3、 对1个单位质量的含污物体进行清洁,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:`1-(污物质量)/(物体质量(含污物))`为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为`a(1<=a<=3)`.设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是`(x+0.8)/(x+1)(x>a-1)`,用`y`单位质量的水第二次清洗后的清洁度是`(y+ac)/(y+a)`,其中`c(0.8<c<0.99)`是该物体初次清洗后的清洁度.
    (1)分别求出方案甲以及`c=0.95`时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
   (2)若采用方案乙,当`a`为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论`a`取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
    提示 示范  

    实践体验
    (在实践中提高能力,在体验中反思感悟,力求独立,力求提高.)

    1、(1)已知`x<5/4`,求函数`y=4x-2+1/(4x-5)`的最大值;
  (2)已知`x>0,y>0`且`1/x+9/y=1`,求`x+y`的最小值;
  (3)已知`a、b`为常数,求函数`y=(x-a)^2+(x-b)^2`的最小值.
    提示 示范  

    2、已知`|vec(a)|=2,|vec(b)|=3,vec(a)`与`vec(b)`的夹角为`60^°`,求使向量`vec(a)+lambda vec(b)`与`lambda vec(a)+vec(b)`的夹角为锐角的实数`lambda`的取值范围.
    提示 示范  

    拓展探究
    已知集合`P={x|1/2<=x<=2}`,函数`y=log_2(ax^2-2x+2)`的定义域为`Q`.
  (1)若`P nn Q!=O/`,求实数`a`的取值范围;
  (2)若方程`log_2(ax^2-2x+2)=2`在`[1/2,2]`内有解,求实数`a`的取值范围.
    提示 示范  

 

    基础训练

    参考答案


 
    提高训练

    参考答案

    学习感悟
    用基本不等式求函数的最值时,关键在于将函数变形为两项的和或积,使这两项的和或积或平方和为定值,然后用基本不等式求出最值;在求条件最值时,一种方法是消元,转化为函数的最值,另一种方法是将要求最值的表达式变形,然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值;不管哪种题,哪种方法在用基本不等式求最值时都必须要验证等号的成立条件.

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