二、重点难点
    重点:理解并掌握不等式证明的几种常见方法

    难点:不等式证明常见方法的综合与灵活应用

    三、特别提示
    (1)用作商比较法时，要注意除式的符号，否则易出错，因为`A/B>1`，若`B>0`，有`A>B`，但若`B<0`，则有`A<B`．
　　(2)用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此，在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．
　　(3)综合法往往是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即用分析法分析，用综合法书写．
　　(4)在应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性．如`a+b=1，a、b in RR`，就不能换为`a=cos^2 theta`，`b=sin^2theta `，必须在`a>=0，b>=0`的条件下才可这样换元．而均值代换就没有这样的限制，若`a+b=1`，`a、b in RR`，则可设`a=1/2+t`，`b=1/2-t(t in RR)`．
　　(5)在应用放缩法时，放缩一定要有目标，要恰到好处，过大或过小都不能达到目的．而目标常常要从证明的结论去考查和转化．

    应用举例
    一、应用特点
    1、用比较法证明不等式
    2、用分析法证明不等式
    3、用放缩法证不等式

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、(1)已知`a<b<c`，求证：`a^2b+b^2c+c^2a<a^2c+b^2a+c^2b`
    (2)求证：`a^(2a)b^(2b)c^(2c)>a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b)(a>b>c>0)`

提示	示范
都可以用比较法证明 ．对(1)可以用作差法；对于(2)，由于两边是积式，更适合用作商法 ．
解:(1)左-右`=(a^2b-b^2a)+(b^2c-a^2c)+(c^2a-c^2b)=ab(a-b)+c(b+a)(b-a)+c^2(a-b)`     `=(a-b)[c^2-(b+a)c+ab]`     `=(a-b)(c-a)(c-b)<0`     `:. a^2b+b^2c+c^2a<a^2c+b^2a+c^2b`     (2)`(左式)/(右式)=a^(2a)/a^(b+c)•b^(2b)/b^(c+a)•c^(2c)/c^(a+b)`     `=a^((a-b)+(a-c))b^((b-c)+(b-a))c^((c-a)+(c-b))`     `=(a/b)^(a-b)(a/c)^(a-c)(b/c)^(b-c)`     又`.: a>b>c>0`     `:.a/b>1，a-b>0`     `:.(a/b)^(a-b)>1`     同理，`(a/c)^(a-c)>1，(b/c)^(b-c)>1     `:.(左式)/(右式)>1`，即`a^(2a)b^(2b)c^(2c)>a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b)`     评注:(内容)

提示	示范
当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小 ．设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为`L/(2pi)`，截面积为`pi(L/(2pi))^2`，周长为L的正方形边长为`L/4`，截面积为`(L/4)^2`．所以本题只需证明`pi(L/(2pi))^2>(L/4)^2`．
证明:设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为`pi(L/(2pi))^2`，截面是正方形的水管的截面面积为`(L/4)^2`，所以本题只需证明`pi(L/(2pi))^2>(L/4)^2`     为了证明上式成立，只需证明`(piL^2)/(4pi^2)>L^2/16`     两边同乘以正数`4/L^2`，得`1/pi>1/4`     因此，只需证明`4>pi`上式是成立的，所以`pi(L/(2pi))^2>(L/4)^2`    这就证明了通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管截面是正方形的水管流量大．     评注:(内容)

提示	示范
本 题按照不等式的证明要由繁到简的原则，从左边的某一项或整体入手，充分考虑不等式本身 的特点，采用放缩法证明．
解:证明：`.:sqrt(k)-sqrt(k-1)=1/( sqrt(k)+sqrt(k-1))>1/(2sqrt(k))     `:.1/sqrt(k)< 2(sqrt(k)-sqrt(k-1))     令`k=1，2，3，…，n`，则有`1/sqrt(1)<2(sqrt(1)-0)，1/sqrt(2)<2(sqrt(2)-1)，…，1/sqrt(n)<2(sqrt(n)-sqrt(n-1))`     将以上各式相加得`1+1/sqrt(2)+1/sqrt(3)+…+1/sqrt(n)<2sqrt(n)(n in NN^*)`     评注:放缩法就是欲证明`A>=B`，则可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得`B<=B_1`，`B_1<=B_2<=…<=B_i<=A`(或反之)，再利用传递性，达到证明的目的，这种方法叫放缩法，运用放缩法的关键是放缩要适度，放得过大或过小，都不能达到目的．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高.)

    1、设`a>b>0`，求证：`(a^2-b^2)/(a^2+b^2)>(a-b)/(a+b)`

提示	示范
根据本题的条件和要证明的结论，既可用作差法又可用作商法．
解:方法一：`.:a>b>0`，     `:. 左边-右边=((a-b)[(a+b)^2-(a^2+b^2)])/((a^2+b^2)(a+b))=(2ab(a-b))/((a^2+b^2)(a+b))>0`     故原不等式成立．     方法二：`((a^2-b^2)/(a^2+b^2))/(a-b)/(a+b)=(a^2-b^2)/(a^2+b^2) xx (a+b)/(a-b)=(a+b)^2/(a^2+b^2)=1+2ab/(a^2+b^2)>1`，     且由`a>b>0`，知`(a-b)/(a+b)>0`     `:.(a^2-b^2)/(a^2+b^2)>(a-b)/(a+b)`．     评注:用作差法证明不等式的步骤是：①作差；②变形；③判断符号．其中关键的步骤是“变形”，一般变形的手段是把差式因式分解、配方等．变形结果往往是：(1)变形为常数；(2)变形为非负实数(如完全平方数、绝对值等)；(3)变形为n个因式的乘积(或商)的形式．总之，变形的目的是有利于下一步判断符号；在判断符号时，要有详细的叙述过程，有时还要局部的用基本不等式进行证明或者分类讨论．在使用作商法比较时，要注意说明分母除式的符号．一般来说，证明指数不等式时常用作商法，而证整式不等式、分式不等式、对数不等式时常用作差法，其原则是看是否有利于变形．

    2、若`a、b、c`是不全相等的正数，求证：`lg((a+b)/2)+lg((b+c)/2)+lg((c+a)/2)>lg(a)+lg(b)+lg(c)`

提示	示范
根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法又可用综合法．
证明:方法一：要证`lg((a+b)/2)+lg((b+c)/2)+lg((c+a)/2)>lg(a)+lg(b)+lg(c)`成立，     即证`lg((a+b)/2·(b+c)/2·(c+a)/2)>lg(abc)`成立．     只需证`(a+b)/2·(b+c)/2·(c+a)/2>abc`成立．     `.:(a+b)/2>=sqrt(ab)>0，(b+c)/2>=sqrt(bc)>0，(c+a)/2>=sqrt(ca)>0`     `:.(a+b)/2·(b+c)/2·(c+a)/2>=abc>0`成立 (*)     又`.:`a、b、c是不全相等的正数，     `:.(a+b)/2·(b+c)/2·(c+a)/2>abc`     `:.lg((a+b)/2·(b+c)/2·(c+a)/2)>lg(abc)`     即`lg((a+b)/2)+lg((b+c)/2)+lg((c+a)/2)>lg(a)+lg(b)+lg(c)`     评注:分析法和综合法是对立统一的两个方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，综合法是分析法的逆过程．事实上，单纯应用分析法证题并不多见，常常是在分析过程中，综合条件、定理等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法．

    学习感悟
    1、不等式的证明，方法灵活多样，综合性强，证明时不仅用到不等式的性质、不等式的证明的技能、技巧，有时还要用到其他数学知识．
    2、利用基本不等式证明不等式时，一要考虑字母或字母组合是否为正，二是考虑相应的积(或和)是否为定值，三要考虑等号成立的条件．
    3、分析法的思维是逆向思维，它能增大思维的发散量，有利于发展求异思维，但综合法表述简单、条理清楚，所以在实际证题中，常用分析法分析，用综合法书写．
    4、注意：用分析法证明不等式往往把“逆求”错误用作“逆推”，分析法过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件．用分析法证明不等式一定要注意正确使用连接“关键词”，如“要证”，“只要证”等．
    5、用反证法往往是当原命题证明不易，改证其逆否命题．解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确，反证法中否定结论要对结论的反面一一否定，不能遗漏，且应在推论论证中作为已知条件使用．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少一个”或“至多有一个”等字样的问题．
    6、换元法是不等式证明中的重要方法，常见的有三角换元、均值换元两种，在应用换元法证题时，要注意换元的等价性，三角换元有一定的规律、问题中若含有`“x^2+y^2=R^2，x^2+y^2<=R^2，sqrt(R^2-x^2)”`等，可以考虑作“三角”代换．
    7、放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标要从证明的结论考察，常用的放缩方法有添项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩，如`(a+1/2)^2+3/4>(a+1/2)^2`；`1/(K(K+1))<1/K^2<1/(K(K-1))`；`2/(sqrt(K)+sqrt(K+1))<1/sqrt(K)<2/(sqrt(K)-sqrt(K+1))`等．除了上述不等式证明的方法外，不等式还有判别式法、单调性法、构造法、数形结合法、数学归纳法等．