2005年

解答题

(17)（本小题满分12分）

已知向量和，

且，求的值

解答

(18) （本小题满分12分）

袋中装有罴球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙

两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，

直到两人中有一人取到白球时即终止 每个球在每一次被取出的机会是等可能的，

用表示取球终止时所需的取球次数．

（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量的概率分布；

（Ⅲ）求甲取到白球的概率

解答

 (19) （本小题满分12分）

  已知是函数的一个极值点,其中.

（Ⅰ）求m与n的关系表达式;

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,

求m的取值范围

 解答

 (20) （本小题满分12分）

如图，已知长方体，，直线与平面

所成的角为，垂直于为的中点．

（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离 

解答

(21) （本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，

且

（I）证明数列是等比数列；

（II）令，求函数在点处的导数

并比较与的大小

解答

(22) （本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别

为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，

并求出该定点的坐标

解答

2006

解答题

17.(本小题满分12分)

   已知函数F(x)=Asin²(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜)，且y＝f(x)的最大值为2，

其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1，2)．

   (Ⅰ)求φ；

   (Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008)．

解答

18．(本小题满分12分)

    设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a≥-1．求f(x)的单调区间．

解答

19.(本小题满分12分)

   如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB₁C

所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB＝90°．设AC＝2a，BC＝a．

   (Ⅰ)求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；

   (Ⅱ)求点A到平面VBC的距离；

   (Ⅲ)求二面角A-VB-C的大小．

解答

20.(本小题满分12分)

    袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个．从袋中任取3个小球，

按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，

用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：

    (Ⅰ)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

    (Ⅱ)随机变量ξ的概率分布和数学期望；

    (Ⅲ)计分介于20分到40分之间的概率．

解答

21.（本小题满分12分）

      双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线．

     （Ⅰ）求双曲线C的方程；

     （Ⅱ）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点

（Q点与C的顶点不重合）.当=λ₁=λ₂，且λ₁+λ₂=时，求Q点的坐标．

解答

22.(本小题满分14分)

    已知a₁＝2，点(a_n，a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．

(Ⅰ)证明数列{lg(1+a_n)}是等比数列；

(Ⅱ)设T_n=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n)，求T_n及数列{a_n}的通项；

(Ⅲ)记b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n,并证明S_n+=1.

解答

2007年

解答题

（17）（本小题满分12分）

设数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

解答

（18）（本小题满分12分）

设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程

实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程有实根的概率；

（Ⅱ）求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．

解答

（19）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱中，已知，，．

（Ⅰ）设是的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

解答

（20）（本小题满分12分）

如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线

航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船

相距海里，当甲船航行分钟到达处时，

乙船航行到甲船的北偏西方向

的处，此时两船相距海里，

问乙船每小时航行多少海里？

解答

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的

最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），

且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

解答

（22）（本小题满分14分）

设函数，其中．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．

解答