三、解答题
(22)(本小题满分14分)
设函数,其中
.
(Ⅰ)当时,判断函数
在定义域上的单调性;
(Ⅱ)求函数的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数,不等式
都成立.
解:(Ⅰ)由题意知,的定义域为
,
设,其图象的对称轴为
,
.
当时,
,
即在
上恒成立,
当
时,
,
当
时,函数
在定义域
上单调递增.
(Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当时,函数
无极值点.
②时,
有两个相同的解
,
时,
,
时,
,
时,函数
在
上无极值点.
③当时,
有两个不同解,
,
,
时,
,
,
即,
.
时,
,
随
的变化情况如下表:
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极小值 |
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由此表可知:时,
有惟一极小值点
,
当时,
,
,
此时,,
随
的变化情况如下表:
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极大值 |
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极小值 |
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由此表可知:时,
有一个极大值
和一个极小值
点;
综上所述:
时,
有惟一最小值点
;
时,
有一个极大值点
和一个极小值点
;
时,
无极值点.
(Ⅲ)当时,函数
,
令函数,
则.
当
时,
,所以函数
在
上单调递增,
又.
时,恒有
,即
恒成立.
故当时,有
.
对任意正整数取
,则有
.
所以结论成立.
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