2004年

解答题

17.已知0<α<，tan+cot=，求sin()的值.

解答

18.在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，

点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(Ⅱ)设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；

(Ⅲ)求点P到平面ABD₁的距离.

解答

19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.

  某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大

盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计

划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投

资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

 解答

20.设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n.

(Ⅰ)若首项  EQ \F(3,2) ，公差，求满足的正整数k；

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有成立.

解答

21.已知椭圆的中心在原点，离心率为  EQ \F(1,2) ，一个焦点是F（-m,0）

(m是大于0的常数).    

(Ⅰ)求椭圆的方程；

   (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，

求直线的斜率.

 解答

22.已知函数满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有

  和，其中是大于0的常数.

设实数a₀，a，b满足 和

(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)证明；

(Ⅲ)证明.

 解答

2005年

解答题

19.（本小题满分12分）如图，圆与圆的半径都是1，，

过动点P分别作圆.圆的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得

试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程

解答

20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，

击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；

每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响

⑴求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；

⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

⑶假设某人连续2次未击中目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止

射击的概率是多少？

解答

21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）

   如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，，

⑴求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；

⑵证明：BC⊥平面SAB；

⑶用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小（本小问不必写出解答过程）

解答

22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）

已知，函数

  ⑴当时，求使成立的的集合；

  ⑵求函数在区间上的最小值

解答

23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分）

设数列的前项和为，已知，且

    ，其中A.B为常数

  ⑴求A与B的值；

  ⑵证明：数列为等差数列；

  ⑶证明：不等式对任何正整数都成立

解答

     2006

     解答题

（17）（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分）

　　　已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.

     （Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

     （Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，

  求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。

解答

（18）（本小题满分14分）

　　　请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是

      侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中

      心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

解答

    （19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，

     第三小问满分5分）

　　　在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足

     AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，

     使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

   （Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角B－A₁P－F的大小（用反三角函数表示）

解答

（20）（本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）

　　　设a为实数，设函数的最大值为g(a)。

　　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）试求满足的所有实数a

解答

（21）（本小题满分14分）

设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），

证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）

解答

2007年

解答题

17．（本题满分12分）

某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后第2位）：

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）

（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．（4分）

解答

18．（本题满分12分）

如图，已知是棱长为的正方体，

点在上，点在上，且．

（1）求证：四点共面；（4分）

（2）若点在上，，点在上，

，垂足为，求证：平面；（4分）

（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．（4分）

解答

19．（本题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，

与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和

直线交于点．

（1）若，求的值；（5分）

（2）若为线段的中点，

求证：为此抛物线的切线；（5分）

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）

解答

20．（本题满分16分）

已知是等差数列，是公比为的等比数列，，，

记为数列的前项和．

（1）若（是大于的正整数），求证：；（4分）

（2）若（是某个正整数），求证：是整数，且数列中的每一项

都是数列中的项；（8分）

（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？

若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）

解答

21．（本题满分16分）

已知是不全为零的实数，函数，．

方程有实数根，且的实数根都是的根；反之，

的实数根都是的根．

（1）求的值；（3分）

（2）若，求的取值范围；（6分）

（3）若，，求的取值范围．（7分）

解答