三、解答题
20.(本题满分16分)
已知是等差数列,
是公比为
的等比数列,
,
,
记为数列
的前
项和.
(1)若(
是大于
的正整数),求证:
;(4分)
(2)若(
是某个正整数),求证:
是整数,且数列
中的每一项
都是数列中的项;(8分)
(3)是否存在这样的正数,使等比数列
中有三项成等差数列?
若存在,写出一个的值,并加以说明;若不存在,请说明理由.(4分)
本小题主要考查等差、等比数列的有关知识,考查运用方程、分类讨论等思想
方法进行分析、探索及论证问题的能力.满分16分.
解:(1)设等差数列的公差为,则由题设得
,
,且
.
由得
,所以
,
.
故等式成立.
(2)(ⅰ)证明为整数:
由得
,即
,
移项得.
因,
,得
,故
为整数.
(ⅱ)证明数列中的每一项都是数列
中的项:
设是数列
中的任一项,只要讨论
的情形.
令,即
,
得.
因,当
时,
,
为
或
,则
为
或
;
而,否则
,矛盾.
当时,
为正整数,所以
为正整数,从而
.
故数列中的每一项都是数列
中的项.
(3)取,
,
.
.
所以,
,
成等差数列.
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